二次方定式の公式で.......。

質問

二次方定式の公式でax^2+bx+c=0の解はx=(-b±√(b^2-4ac))/2a に至るまでの公式で、教えてgooの中で見付けたのですが、
（１）ax^2+bx+c=0
（２）x^2+(b/a)x+(c/a)=0
（３）x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0
（４）(x+b/2a)^2=(b/2a)^2-(c/a)
（５）x+b/2a=±√(b^2/4a^2 -4ac/4a^2)
（６）x=(-b±√(b^2-4ac))/2a と有ったのですが、

（１）から（２）、（２）から（３）、（３）から（４）、（４）から（５）、（５）から（６）に至るまでのそれぞれの説明を、詳しく教えて下さい

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

（（１）→（２）
二次方程式ではa≠0 なので、両辺をaで割りました。

（２）→（３）
0＝(b/2a)^2-(b/2a)^2　ですから、この0になる式を左辺に加えました。
xの係数の半分の２乗を加えて引くのは、完全平方にするためのテクニックです。

（３）→（４）
公式 p^2 + 2pq + q^2 ＝ (p + q)^2 を使って、

x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0
⇔x^2+2(b/2a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0
⇔(x + b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0
⇔(x + b/2a)^2＝(b/2a)^2-(c/a)

（４）→（５）

p^2 = q ⇔ p = √q または p = -√q
を利用して、

(x + b/2a)^2＝(b/2a)^2-(c/a)
⇔ x + b/2a ＝±√｛(b/2a)^2-(c/a)｝
⇔ x + b/2a ＝±√｛b^2/(4a^2)-(c/a)｝
⇔ x + b/2a ＝±√｛b^2/(4a^2) - 4ac/(4a^2)｝

（５）→（６）
x + b/2a ＝±√｛b^2/(4a^2) - 4ac/(4a^2)｝
⇔x ＝- b/2a ± √｛b^2/(4a^2) - 4ac/(4a^2)｝
⇔x ＝- b/2a ± √｛(b^2 - 4ac)/(4a^2)｝

ここで、a＞0なら
√｛(b^2 - 4ac)/(4a^2)｝＝ {√(b^2 - 4ac)}/(2a)
a＜0　なら
√｛(b^2 - 4ac)/(4a^2)｝＝ －{√(b^2 - 4ac)}/(2a)

ですが、元々√｛(b^2 - 4ac)/(4a^2)｝に「±」がついているので、どちらでもそのまま±をつけて問題ないので、

x ＝- b/2a ± √｛(b^2 - 4ac)/(4a^2)｝
⇔x ＝- b/2a ± {√(b^2 - 4ac)}/(2a)
⇔x ＝｛- b ± √(b^2 - 4ac)｝/(2a)

※文字は「方程式」です。

お礼

有難うございます。良く解りました。