｜a-4｜x+a｜x+2｜=2 が正の解をもつ

質問

x｜y-4｜+y｜x+2｜=2 は、

x≧-2, y≧4のとき　　(x+1)(y-2)=-1
x＜-2, y≧4のとき　　y=-2x-1
x＜-2, y＜4のとき　　(x+1)(y-2)=-3
x≧-2, y＜4のとき　　y=-2x+1

となり、グラフは添付画像のようになります。そこで、xに関する方程式
｜a-4｜x+a｜x+2｜=2 について，

(1) 正の解をもつときの a の値の範囲を求めよ．

(2)　２つの解をもつときの a の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)で２つの解の差が最小となるときの a の値を求めよ．

どのように考えればよいのでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>どのように考えればよいのでしょうか？

xに関する方程式
｜a-4｜x+a｜x+2｜=2　…(C)
の解は
質問者さんが描いた
x｜y-4｜+y｜x+2｜=2 …(A)
のグラフとy切片がaでx軸と平行な直線
y=a …(B)
との交点のx座標であると考えて,
aを変えると直線(B)と曲線(A)の交点の位置が変わっていくことから、
aと方程式(C)の解の関係を求めればいいです。

(1) 直線(B)が曲線(A)のx>0の部分と交点をもてば良いから
　a<1

(2) 直線(B)が曲線(A)と2点で交わればよいから
　a>2

(3) 曲線（A)の左右の曲線の水平距離が最小になる位置はy=2の所なので直線(B)と曲線(A)がこの位置で交わるためには直線(B)y=a=2であれば良い。このときの交点のx座標「-3/2,-5/2」の差=1が最小値となる。
　a=2

お礼

ありがとうございます。

｜a-4｜x+a｜x+2｜=2
を
x｜y-4｜+y｜x+2｜=2
と
y=a
の交点のx座標とみるのですね。

回答No.4

info22_

#1,#2です。

質問者さんの問題中の式の書き方は式からだけみれば
確かに#3さんが指摘されているようにも解釈できます。
チャンと括弧を付けて書いた方がいいでしょう。
｜a-4｜x+a｜x+2｜=2 → (｜a-4｜)x+a(｜x+2｜)=2

でも質問中の
x｜y-4｜+y｜x+2｜=2 ⇒ x(｜y-4｜)+y(｜x+2｜)=2
と添付のグラフから
｜a-4｜x+a｜x+2｜=2
を
｜(a-4｜x+a｜x+2)｜=2
ではなく
(｜a-4｜)x+a｜x+2)｜=2
と解釈しました。
A#1,A#2はこの解釈で回答してあります。

注）
実は僕も当初は絶対値の中の範囲に戸惑いしばらく回答を控えていましたが、誰も回答がつかなかったので、質問の内容をよく読んでグラフと「x｜y-4｜+y｜x+2｜=2」の式から質問者さんの問題解釈とおなじ解釈をして回答しました。
語解釈が発生しないように
｜a-4｜x+a｜x+2｜=2
と書くのではなく
x｜a-4｜+a｜x+2｜=2　または　x(｜a-4｜)+a｜x+2｜=2
または　(｜a-4｜)x + a｜x+2｜=2 または (｜a-4｜)x + a(｜x+2｜)=2
などのいづれかで式を書けば
#3さんの指摘ような解釈も発生しなかったかと思います。

お礼

ありがとうございます。

連休で出かけているあいだに、補足対応までしていただき感謝いたします。

回答No.3

spring135

＞｜a-4｜x+a｜x+2｜=2

左辺全体に絶対値がかかって、中にさらに｜x+a｜があるようにも見えます。
つまり
(a-4｜x+a｜x+2)の絶対値=2

問題を正確に提示してください。

お礼

ありがとうございます。

(｜a-4｜)x + a(｜x+2｜)=2
の意味です。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の(3)に誤植ミスをしましたので訂正します。

>(3) 曲線（A)の左右の曲線の水平距離が最小になる位置は
>y=2の所なので
正しくは　「y=4の所なので」

>直線(B)と曲線(A)がこの位置で交わるためには
>直線(B)y=a=2であれば良い。
正しくは　「直線(B)y=a=4であれば良い。」

>このときの交点のx座標「-3/2,-5/2」の差=1が最小値となる。
>　a=2
正しくは　「a=4」

と訂正願います。

お礼

ありがとうございます。