偏微分と、極限の問題です。

質問

次の問題をお教えください。

１)ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)，ｘ＝uv,y=u^2 +v^2のとき、∂ｚ/∂ｕ，∂ｚ/∂ｖを求めよ。ですが、
変数変換の公式、∂ｚ/∂u＝∂ｚ/∂ｘ ∂ｘ/∂ｕ＋∂ｚ/∂ｙ ∂y/ ∂zを使うのでしょうが、ｚが、ｆ（ｘ，ｙ)の形になっているので足り方がわかりません。どうしたらよいのでしょうか。

２)ｌｉｍ ｘ→∞ｘ＾ｎ/ｅ＾ｘの値を求めよ。
この問題は全くわかりません。とくに、ｘ＾ｎのｎがどうなるかが。

よろしくお願いします。

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

∂z/∂x=fx　添え字は偏微分を表すを使って書くだけでしょう。

∂z/∂u=fx*v+fy*(2u)
∂z/∂v=fx*u+fy*(2v)

ロピタルの公式を使って、n>0のときは、
x^n/e^x　→n*x^(n-1)/e^x　→・・・→n!/e^x→0 （ｘ→∞）
とするか、x>0で
e^x>1+x+x^2/2!+・・・+x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!
だから、
x^n/e^x< (x^n)/{1+x+・・・+x^(n+1)/(n+1)!}→0　（ｘ→∞）
とするか。

回答No.3

info22

１）zの代わりにf(x,y)となるだけです。
∂ｚ/∂u＝fx(x,y)∂x/∂u＋fy(x,y)∂y/∂u
=fx(uv,u^2 +v^2)*v+fy(uv,u^2 +v^2)*2u
∂ｚ/∂v＝fx(x,y)∂x/∂v＋fy(x,y)∂y/∂v
=fx(uv,u^2 +v^2)*u+fy(uv,u^2 +v^2)*2v

２）
x>0とすれば
e^x = 1+x+(1/2)x^2+ … +(1/(n+1)!)x^(n+1)+ … ＞(1/(n+1)!)x^(n+1)
と展開できるから
(x^n)/e^x＜(x^n)/{(1/(n+1)!)x^(n+1)]
= ((n+1)!)/x → 0 (x→∞)

回答No.2

Meowth

ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)，ｘ＝uv,y=u^2 +v^2のとき、∂ｚ/∂ｕ，∂ｚ/∂ｖ
∂ｘ/∂ｕ=v ∂ｘ/∂v=u
∂y/∂ｕ=2u ∂y/∂v=2v
∂ｚ/∂ｕ=∂ｚ/∂x∂x/∂ｕ+∂ｚ/∂y∂y/∂ｕ
=v∂f/∂x +2u ∂f/∂y

ｌｉｍ ｘ→∞ｘ＾ｎ/ｅ＾ｘの値を求めよ。
ロピタルの定理より　分子,分母をｎ回微分すると、
n!/ｅ＾ｘ→0