この連立方程式の変な解の呼び名は?

質問

連立方程式
w+x+2y+4z=3
3w+x+6y+2z=3
-x+2x-2y+z=1

の解は
(w,x,y,z)=(1/2,1/2,0,1/2)+k(-2,0,1,0)
という非自明解でも解空間
{(w,x,y,z)∈V;(w,x,y,z)=(1/2,1/2,0,1/2)+k(-2,0,1,0)}
が線形部分空間にならない特殊な解ですよね。
それで解空間が線形部分空間にならないと困る(?)ので
この連立方程式の解空間は
{(w,x,y,z)∈V;(w,x,y,z)=k(-2,0,1,0)}
で基底は{(-2,0,1,0)}はと定義するのですね。

このような変な非自明解の呼び名はあるのでしょうか?

回答No.3

ojisan7

>このような変な非自明解の呼び名はあるのでしょうか?

Ax=bという非斉次の方程式の解空間は線形空間ではないですが、このような空間は普通、
アファイン空間といいます。正確には、「 ker A に随伴したアファイン空間」と言うべきでしょうね。

>解空間が線形部分空間にならないと困る(?)

別に、困ることはないと思いますがどうでしょうか。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%B3%BB

回答No.2

echoes_x86

こんにちは．
w+x+2y+4z=3
3w+x+6y+2z=3
-w+2x-2y+z=1
3目の式が「-x+2x...」ではなく上記のように「-w+2x...」
と仮定します．
係数行列をAとするとき，これは3*4行列ですから，
この系は不定系となります．
Aの零空間の基底をx0=[-2 0 1 0]'とするとき，左辺のベクタyがAの列空間にあれば，
この系は
A*(x+k*x0)=y
なる解xを持ちます．ここで，kは任意の実数です．
で，変な非自明解の名前は何か？，
というご質問の直接の回答にはなりませんが，「k=0の場合の上記の解」すなわち，
xの事を最小ノルム解と呼びます．
解は全て(x+k*x0)の形をしていますから，k=0のとき，
かつそのときに限り解のノルムが最小になるとお分かりいただけると思います．

回答No.1

Tacosan

ん? 何か勘違いしいてませんか?
非斉次なんだから, その解空間が部分空間になることはあり得ないと思いますよ.