空気抵抗の問題です

質問

物体を横に滑らせその時に働く摩擦力と空気抵抗を考慮しする問題で、
(物体の重さはM)
運動方程式はMdv/dt=－Mγv－μ´Mｇ
で、これをなぜだかわからないけど、変数分離？などを使って、
積分すると、
log(v+μ´g/γ)=－γt+C1 (C1:積分定数)とあるのですが
変数分離をどのように行えばこのような結果になるのか、できるだけ過程を詳しく教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

dv/dt = -γ(v + μ'g/γ)
より
dv/(v + μ'g/γ) = -γ dt .　(*)
両辺を積分して
∫dv/(v + μ'g/γ) = -∫γ dt .
ln(v + μ'g/γ) = -γ t + C .

(*)式で、左辺にある変数は v だけ。同じく右辺にある変数は t だけ。これが変数分離。

お礼

わかりました！ありがとうございます。

回答No.1

Ae610

Mdv/dt=－Mγv－μ'Mｇ
dv/dt=－γv－μ'ｇ・・・(1)
先ず
dv/dt=－γv
を解く。
v=Ce^(-γt) (Cは積分常数)・・・(2)

次にCもtの関数とみなすと
dv/dt=dC/dt・e^(-γt)-γC・e^(-γt)
これを(1)に代入
dC/dt・e^(-γt)-γC・e^(-γt)=－γCe^(-γt)－μ'ｇ
dC/dt=－μ'ｇ・e^(γt)
C=－μ'ｇ/γ・e^(γt)+c1　(c1は積分常数)
(2)に代入
v=－μ'ｇ/γ+c1・e^(-γt)
v+μ'ｇ/γ=c1・e^(-γt)
∴log(v+μ'ｇ/γ)=-γt+c2 (c2=log(c1))

お礼

回答ありがとうございます！