速度の２乗に比例する抵抗

質問

質量ｍ、体積Vの物体が水中を落下するとき、速度の２乗に比例する抵抗を受けるとする。その運動方程式を浮力も考慮し解け。

下向きにｍｇ　上向きにkmv＾２（ｋは定数）
浮力がわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

アルキメデスの原理
「流体中の物体は、その物体が押しのけた流体の重さ（重力）と同じ大きさの浮力を受ける」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86

をまず思い出そう！！

水の密度をρwとすると、
物体が押しのけた流体の体積はVなので、
　浮力 = ρw・V・g
となります。
これは上向き↑方向に働きます。

ですから、
運動方程式は
　mdv/dt = mg - ρw・V・g - kv^2
です。

お礼

水の密度をρwとしていますが、水の密度はρではないのですか？

回答No.3

NemurinekoNya

ρが水の密度であることを書けば、ρでも構いません。

ですが、この手の問題は、通常、固体の密度ρs（sは固体を表わすsolidの略）、水などの液体や流体の密度の形で示されることが多く、密度がどちらの密度であるのか明示するためにρw（wは水・waterからとった）としただけです。

何も書かないと、ρが固体や物体の密度なのか、水の密度を表わしているのか、わからないんでちょっとまずいんですよ。

この区別を明確にするために、
固体・solidならρs、
液体・liquidならρl、
気体・ガスならρg
と、sやl、gを添字にして書いたりします。
固体をρ、
流体の密度をρ0と書いたりもしますかね。
このあたりは、流儀や好みです。

ですが、普通、この運動方程式は、密度の式で書く、密度の形で表現されます。
ですから、ρだと、ちょっとまずいんですよね～。
まっ、問題に水の密度はρとすると書いてあれば、別ですけれどもね。

そういうことです。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

noname#212313

ちょっと分量が多いので、浮力がない場合を、

http://hooktail.sub.jp/mechanics/vsquare/

でご確認頂くようお願いします。さて浮力を考慮します……が、実はほとんど済んでいるのです。

　浮力Fは物体の密度がV/m、空気の密度がρだとし、上記サイトでは下向きが正としているのに合わせると、F＝V(ρ－m/V)＝Vρ－mです。一定になることは明らかですね。

　重力による力も一定です。浮力との合力を考えると、

　mg－F＝mg－(Vρ－m)＝mg－Vρ＋m＝m{g－V/(mρ)＋1

となります。重力加速度mgと見比べると、{g－V/(mρ)＋1}を浮力を補正した重力加速度だとすればいいと分かります。

　新たにη＝{g－V/(mρ)＋1}と置けば、上記サイトのgをηで置き換えて、全く同じに導出していけます。そして、最後に得られた求めたい式のηを{g－V/(mρ)＋1}で書き換えればOKです。

P.S.

　お示しの設問では、上記サイトのκ（空気抵抗の比例係数）は、「下向きにｍｇ　上向きにkmv＾２（ｋは定数）」のkのことになります。また、物体の密度が空気の密度より小さい場合は、落下ではなく上昇しますが、求めた式はそのまま使えます（終端速度がマイナスになる）。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。