図形の面積を求める公式の証明

質問

三角形や四角形、台形、菱形など様々な図形がありますが、義務教育で習う図形の公式の証明は可能でしょうか。
今までは暗記していましたが、証明できれば楽しいだろうと思い、質問させていただきました。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

＞ 円の面積公式には、積分が不可避

と No.3 に書いた理由について補足：

小学校の教科書には、よく…
円を細い扇形に等分して、互い違いに噛み合わせると、
ちょっと平行四辺形に似た図形ができる。
分割数を多くすると、この図形は、
(半径) × (半径×円周率) の長方形に近づく。
…という説明が載っています。

これ自体が積分の考え方だ…　という野暮は言わないとしても、
この説明は、かなりマヅイ内容を含んでいます。

分割して並べ替えても円の面積が変わらないことに、問題はありませんが、
波状の部分が (半径×円周率) の辺に近づくことは、自明ではありません。

曲線の長さの極限には、面積の極限よりもデリケートな扱いが必要です。
その一例として…　有名な「折れ線のパラドクス」：

三角形 ABC の辺 AB, AC, BC 上に、それぞれ中点 D, E, M をとる。
折れ線 BAC と折れ線 BDMEC の長さは等しい。
三角形 ABC にしたのと同じ操作を、三角形 DBM と EMC にも行う。
更に、同じ操作を、新しい４個の三角形にも行う。
これを繰り返すと、折れ線の折れ数は増えてゆくが、長さの合計は
いつまで経っても BA+AC のまま変わらない。
しかし、折れ線の極限は辺 BC に収束する。
はたして、折れ線の長さの極限は、BC か BA+AC か？

この問題と、先の (半径×円周率) の辺がどう違うのか
を説明することは、もちろんできるのですが、それには、
単純に円の面積を積分するよりも、かなり高度な理解を要します。
あまりイイカゲンな直感に頼ってはいけないと思う。

…と言うわけで、積分したほうが早いのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.6

tsukita

積分では、長方形の面積の概念が必要ですので、
積分の前に長方形の面積がくることに注意してください。

図形を描かないとうまく説明できませんが、
証明の流れとしては、次のようになるかと思います。

面積とは？　
⇒　面積の単位１cm^2、１m^2など
⇒　正方形、長方形
⇒　平行四辺形、ひし形
⇒　三角形、台形

円だけは特殊で、小学生の教科書の説明でも、
・長方形の面積
・極限（＝積分）の考え方（どんどん細かく分けて組み合わせると長方形のような形をつくれる）
を用いています。積分の概念を使っていますが、具体的に図形を使って説明することで、小学生でも直感的に理解できます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.5

naniwacchi

#4です。

うまく図を添付することができません。すみません。

言葉で伝わるかわかりませんが、一とおり書いておきます。

1) 円の中心角を等分します。
このとき、等分の数を大きくして、ひとつのおうぎ形の中心角を小さくします。

2) 次に、それらのおうぎ形を中心角が上・下・上・下・・・となるように並べていきます。
当然、半径になる部分は合わせていきます。

3) 2)で並べた全体を眺めてみると、
（横）＝（円周の半分）＝πｒ
（縦）＝（半径）＝ ｒ

の長方形が出来上がります。（等分が多いだけ長方形に近づきます。）

4) 円を切り離して、並び変えただけですので面積は変わっていません。
よって、（面積）＝πｒ^2 となります。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

naniwacchi

こんばんわ。

いずれの公式も小学校や中学校の教科書には何かしら説明はあったと思います。
円の面積については、以下のような説明だったと記憶しています。

図のように、円を分割し並べ直すと（ほぼ）長方形にすることができ、
この面積を計算すると πr^2となる。

正確には、みなさんがご指摘のように積分計算が必要ですが、
このような考え方も重要だと思います。
積分自身も「微小な幅を寄せ集めた」という考え方から出ているので、
そういう意味では共通した考え方とも言えるかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

長方形の面積を、タテ×ヨコと定義し、
面積が等しいことの定義を、
三角形に分割して組み立て直すと一致すること
とすると、種々の多角形の面積公式は、
ユークリッド幾何の範囲で証明できます。

円の面積公式には、積分が不可避ですが。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

stringf35

数学は専門ではないですが、できる範囲でお答えします。

四角形の面積は縦×横ですが、これは積分を使えばできそうです。
y=aという関数のx=0からbまでの積分を求めれば、面積＝abです。

三角形も積分でいけそうです。
台形は三角形がふたつと考えればいいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

DIooggooID

面積を求めたい図形の各辺の方程式を作成し、それらを積分することで求められます。　

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/integral5.htm

お礼

ご回答ありがとうございました。