ひし形の面積と対角線

質問

専門学校の数学入試問題の質問です。

【問題】
一辺の長さが10のひし形があり、二本の対角線のうち、一方は他方より4長い。以下の問いに答えよ。
(1)二本の対角線の長さを求めよ。
(2)ひし形の面積Sを求めよ。

【考え】
対角線の一方をｘ、他方を（ｘ＋４）とおき
面積に関する連立方程式を解けばよいと思い、
ひし形の面積の公式より
S=1/2・ｘ・（ｘ＋４）ですが
もう一つの面積の表し方がわかりません。
ひし形の1/4の三角形にヘロンの公式を使ったり
ひし形の高さをｘで表そうとしたりしましたが
途中でつまり、答えが出ません。
もう一つの式の作り方から教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

一辺の長さ10をまだ使っていませんね。
菱形は対角線が直交し、互いに2等分しあいます。
4等分した一個の直角三角形で、直角のはさむ辺の長さの差は4の半分の2ですね。
２辺をa,b=a+2とすると3平方の定理から
10^2=a^2+(a+2)^2
2a^2+4a+4=100
a^2+2a+2=50
(a+1)^2=49
a>0なので
a+1=7
a=6,b=a+2=8
なので、２本の対角線の長さ2a,2bが出てきますね。
面積Sはもちろん
S=(1/2)(2a)*(2b)=2ab
で計算できますね。

お礼

早い回答ありがとうございます。
過程を示していただきとても分かりやすかったです。
類題を解いてしっかり身に付けたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

ひし形を二本の対角線で分割した直角三角形を考えます。斜辺の長さは（ひし形の一辺と同じなので）１０、他の二辺は対角線の半分なので、短い方の長さをｘとすると長い方はｘ＋２です。これらについて三平方の定理を使うと対角線の長さが判ります。

お礼

早い回答ありがとうございます。
式が作りやすいものをｘとすればよいのですね。
解説を読みながら解けたので
とてもすっきりしました。
ありがとうございました。