Σの公式の証明について

質問

今、高校の課題研究で「Σの公式」について研究をしています。公式らしきものは作れたのですが、その公式の証明ができなくて困っています。目のつけどころだけでもいいので証明の仕方を教えてくれないでしょうか。公式を証明するのは学校で習うような簡単なもの以外では初めてです。公式はこのようなものです。
※これから出てくるΣは全てk=1からnまでの時とします。
【例】Σ(k^4)の公式を求める時
Σ(k^3) = 1/4n^4 + 1/2n^3 + 1/4n^2　を用いる
（少し変わった変形？ですが左辺のΣを取り払います）
k^3 = 1/4n^4 + 1/2n^3 + 1/4n^2
両辺を不定積分する（積分定数は０）
1/4k^4 = 1/20n^5 + 1/8n^4 + 1/12n^3
k^4 = 1/5n^5 + 1/2n^4 + 1/3n^3
右辺の係数の合計が１となるようにnを加える
すなわちこの場合、1/5+1/2+1/3=31/30なので-1/30nを加える
k^4 = 1/5n^5 + 1/2n^4 + 1/3n^3 - 1/30n
（左辺にΣを再びつける）
Σ(k^4) = 1/5n^5 + 1/2n^4 + 1/3n^3 - 1/30n
これで完成！

回答No.7

arrysthmia · ベストアンサー

なんだか言いっ放しになったので、式変形を書いておきます。

n^m = P_m(n) - P_m(n-1)　の両辺は、m+1 次以下の多項式であって、
かつ、m+2 個よりも多い n の値 n = 2, 3, 4, … で一致することから、
多項式として一致する。すなわち、任意の実数 x に対して、
x^m = P_m(x) - P_m(x-1)　が成り立つ。…(＊)
この式を ∫[x=0…k] ～ dx すると、
k^(m+1) / (m+1)
= ∫[x=0…k] P_m(x) dx - ∫[x=0…k] P_m(x-1) dx
= ∫[x=0…k] P_m(x) dx - ∫[x=-1…k-1] P_m(y) dy
= ∫[x=k-1…k] P_m(x) dx - C　　ただし C = ∫[x=-1…0] P_m(x) dx.
この式を Σ[k=1…n] すると、
{ Σ[k=1…n] k^(m+1) } / (m+1) = ∫[x=0…k] P_m(x) dx - n C.
よって、
P_{m+1}(n) = (m+1) ∫[x=0…k] P_m(x) dx + { -(m+1)C } n.
ここで、P_{m+1}(1) = 1 が成立するように C の値を決めればよい。

話のキモである(＊)を導くのに、P_m( ) が多項式であることを使いました。
(m+1 次以下であることは重要でありませんが) 多項式であることを示すには、
No.1 さんの言うとおり、帰納法によるしかないような気がします。
上記の計算が、帰納法の帰納ステップとして使えます。

回答No.6

tecchan22

だけど，こんな綺麗な関係があったんですね．
不覚にも僕は知りませんでした．
確かに階差で微分したり積分したりすると出てくるけど・・．
よく知られていることで，僕が知らなかっただけなのかしら？
賢い人は習ったときに自分で見つけているかも知れませんね．
こんど塾で教えるときに使えそうで，どうも有難うございます．

回答No.5

arrysthmia

←No.3　そうですね。
定数項で補正してはいけない理由は、P_m(0) = 0 で説明できるけれど、
二次以上でなくて一次項で補正する理由は、積分定数の在処からしか
出てこない。式形をちゃんと追わないとね。おっしゃる通りです。

回答No.4

toshih2000

せめて、= が成り立つようにしましょう。

・左辺のΣはつけたままでいいんじゃないですか?
括弧の中だけを変形すればいいんです。
係数はΣの外に出せるので問題ないでしょう。

・途中の不定積分で、積分定数を0と置くから、おかしくなるので、
積分定数はつけておいて、最後に積分定数= -1/30n とする。
もしくは、左辺のΣの中に積分定数を入れておいて、
Σを展開したら、 1/30n になった でもいいかな～。
両方に有っても問題ないですよね。

そうすれば、辻褄はあいますよね。

回答No.3

Tacosan

ちょいと待ってください＞#2.
最後に「1次項で補正する」ことの根拠が弱くありませんか? つまり, 「なぜそこで定数項や 2次項などではなく 1次項を使うのか」ということについては, ここではどこにも根拠がありませんよね.
そこをきちんと説明しようとすると, 質問者のような「でたらめ」な方法ではなく, #2 であるようにきちんと積分したりする必要があるはずです.

回答No.2

arrysthmia

ヒント：

Σ[k=1,…,n] k^m は、n の m+1 次多項式です。これを P_m(n) と置きます。

P_m(n) - P_m(n-1) = n^m は、任意の自然数 n について成り立ちます。
この式の両辺は、m+1 個よりも多い点で一致する m 次多項式ですから、
多項式として等しい。つまり、任意の実数 x について P_m(x) - P_m(x-1) = x^m
が言えます。ここから、積分する操作が正当化できますね。

係数の合計が 1 になるように一次項を加える操作は、
任意の m について P_m(1) = 1 であることから説明できます。

やってみて下さい。

お礼

一度この方法で試してみます。
　回答ありがとうございました。

回答No.1

owata-www

一番簡単なのは数学的帰納法でしょうか

お礼

回答ありがとうございました。