陰関数の問題

質問

xy+2sin(yz)=1から定まるx,yの陰関数z=g(x,y),y≠y(x)についてzx,zyについて求める問題がわかりません。
やり方も含めご教授よろしくお願いします。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

＃１です．

＞この「zx」はzのxについての偏微分という意味で打ちました。
偏微分：∂z/∂x を計算します．y を定数と考えて，xy＋2sin(yz)＝1 の両辺を x で微分すると，
y＋2cos(yz)*y(∂z/∂x)＝0
1＋2cos(yz)*(∂z/∂x)＝0
2cos(yz)*(∂z/∂x)＝－1
(∂z/∂x)＝－1/(2cos(yz))
次に，xy＋2sin(yz)＝1 から，(sin(yz))^2 ＋(cos(yz))^2＝1 を用いて，2cos(yz)を計算すると，
2cos(yz)＝±√[－(xy＋1)(xy－3)] となるので，
(∂z/∂x)＝－1/(±√[－(xy＋1)(xy－3)]) が得られました．

次に，偏微分：∂z/∂y を計算します．x を定数と考えて，xy＋2sin(yz)＝1 の両辺を y で微分すると，
x＋2cos(yz)*(z＋y(∂z/∂x))＝0
2cos(yz)*(z＋y(∂z/∂x))＝－x
z＋y(∂z/∂x)＝－x/(2cos(yz))
y(∂z/∂x)＝－z－x/(2cos(yz))
∂z/∂x ＝(－z－x/(2cos(yz)))/y

xy＋2sin(yz)＝1 から，z は z＝(arcsin((1－xy)/2))/y です．
また，2cos(yz)は，2cos(yz)＝±√[－(xy＋1)(xy－3)] です．
この二つを，(－z－x/(2cos(yz)))/y に代入すれば，∂z/∂x が得られます．

以上です．

お礼

とても助かりました。よくわかりました。
丁寧な回答をしてくださりありがとうございました。

回答No.3

Knotopolog

＃１です．すいません！　タイプミスをしましたので訂正です．

「次に，偏微分：∂z/∂y を計算します．・・・・・」から後は，∂z/∂x を ∂z/∂y に読み替えて下さい．

以上です．

お礼

解答してくださりありがとうございました。
本当に助かりました。

回答No.1

Knotopolog

文章の書き方からして，質問の意味が明確でないが，推測で回答します．
まず，xy＋2sin(yz)＝1 から陰関数z＝g(x,y)を求める．xy＋2sin(yz)＝1 を変形すると，
sin(yz)＝(1－xy)/2
yz＝arcsin((1－xy)/2)
z＝(arcsin((1－xy)/2))/y
故に，g(x,y)＝(arcsin((1－xy)/2))/y　・・・答え

＞zx,zyについて求める問題がわかりません。
これは，多分，y＝u(x,z) と x＝w(y,z) を求めたいのだろうと推察する．
x＝w(y,z) は，xy＋2sin(yz)＝1 を変形すると，
xy＝1－2sin(yz)
x＝(1－2sin(yz))/y
故に，w(y,z)＝(1－2sin(yz))/y　・・・答え

次に，y＝u(x,z) は，xy＋2sin(yz)＝1 が，初等関数では，y＝u(x,z) と書けないので，
陰関数 f(x,y,z)＝0 の形に書くとすると，
f(x,y,z)＝xy＋2sin(yz)－1 です．

以上です．勝手な解釈で書きましたが，いかがでしょうか？

お礼

詳しい回答をしてくださりありがとうございます。
「zx,zyについて求める問題」ではなく、「zx,zyを求める問題」の間違いでした。すみません。
この「zx」はzのxについての偏微分という意味で打ちました。
非常にわかりにくくて申し訳ございません・・・