≪問題≫実数x，y，zは関係式，x+y=2…(1)，x^3+y^3+z^3

質問

≪問題≫実数x，y，zは関係式，x+y=2…(1)，x^3+y^3+z^3=8…(2)を満たす。
（1）x^2+y^2+z^2をzを用いて表せ。

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3
の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません＾＾；

どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
x^2+y^2はx+yとxyで表せますね。
だから目標はxyをzで表すことです。

(1)が使えるように(2)を変形してみる。
(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8
(1)を代入してみる。
2^3-3xy*2+z^3=8
xy=z^3/6
となった。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

info22_

#2です。

#1さんのやり方の方がお勧めですね。
xy=(1/6)z^3が求まれば
x^2+y^2+z^2=(x+y)^2-2xy+z^2=4-2xy+z^3
に代入してやれば良いですね。

A#2の方はたとえ合っていたとしても式が複雑すぎますので無視して下さい。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

info22_

考えたやり方でやればできます。

>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3

(1),(2)式を代入すると
(2+z)(x^2+y^2+z^2-xy-2z)-3xyz=8
(2+z)(x^2+y^2+z^2)-2xy(1+2z)-2z(2+z)=8…(3)

(1)を２乗して x^2+y^2=4-2xy
2xy=4-(x^2+y^2) …(4)
(4)を(3)に代入
(2+z)(x^2+y^2+z^2)+(1+2z)(x^2+y^2)-4(1+2z)-2z(2+z)=8
(2+z)(x^2+y^2+z^2)+(1+2z)(x^2+y^2+z^2)-(1+2z)z^2-4(1+2z)-2z(2+z)=8
3(z+1)(x^2+y^2+z^2)=(1+2z)(z^2+4)+2z(2+z)+8
=2z^3+3z^2+12z+12
∴x^2+y^2+z^2=(1/3)(2z^3+3z^2+12z+12)/(z+1)

合っているかは保証の限りではありませんので、必ず自分で計算して
確認してください。

お礼

ありがとうございました！