実数解をもつ・・・？

質問

数１の青チャート重要例題94で
実数x,yがx^2+y^2=4を満たしながら変化するとき
2x+yの取り得る値の最大値と最小値を求めよ。
とあるのですが、解答で実数解を持つ条件からDは0以上としています。
この実数解をもつという条件はどこから分かるのでしょうか？

回答No.3

noname#29493 · ベストアンサー

ごめん。もっと的確に述べると
問題は
実数x,yがx^2+y^2=4を満たしながら変化するとき
2x+yの取り得る値の範囲を求めよ。
ということだよね。
いいかえると、2x＋y=kとしたとき
「実数xがx^2＋(k-2x)^2-4=0を満たすとしたとき
kの値の範囲を求めよ。」
と言い換えられるのは分かる？こういうことなんだよ。
そうすると
xがx^2＋(k-2x)^2-4=0⇔5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たし、
　(ここまでは同じで、ここから分かりやすくするため訂正します。)

もしも5t^2-4kt＋k^2-4=0のtについての実数解をもたないことを考えると
どんな実数tに対しても5t^2-4kt＋k^2-4＞0で5t^2-4kt＋k^2-4≠0
これはt=xのとき5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たしていることに矛盾するので
5t^2-4kt＋k^2-4=0はtについての実数解をもたなくてはいけないことが分かった。そして5t^2-4kt＋k^2-4=0はtについての実数解をもち
5t^2-4kt＋k^2-4=0となるようなtをxとする。
そうすると5t^2-4kt＋k^2-4=0はtについての実数解をもつので
判別式D≧0として以降考えましょうということだ。
こっちが本当の回答です。

お礼

なるほど！とても丁寧に有り難うございました！
非常に分かりやすかったです＾＾

回答No.5

info22_

> この実数解をもつという条件はどこから分かるのでしょうか？
2x+y=kと置くとき、(x,y)が円x^2+y^2=4…(2)上の点である条件、つまり(2)を満たす実数x,yが存在する条件から、kのとりうる範囲が求まります。kの範囲からkの最大値と最小値が出ます。

直線　y=k-2x…(1)と円x^2+y^2=4…(2)
が共有点(x,y)をもつこと、つまり、
(1)を(2)に代入して導かれるxの２次方程式
x^2+(k-2x)^2=4 変形して　5x^2-4kx+k^2-4=0…(3)
が実数解を持つようなkの範囲を求めれば、
実数のxと(1)からyが決まり共有点が存在することになる。
(3)の２次方程式の実数条件(交点が存在する条件)から
判別式D/4=(2k)^2-5(k^2-4)=20-k^2≧0
これから　-2√5≦k≦2√5
求めるk=2x+yの最大値は2√5、最小値は-2√5

最大値、最小値のkを直線(1)と円(2)の式に代入すれば、最大と最小になる時の実数の組(接点座標）が出てきます。

回答No.4

alice_44

2x + y が、ある値 k を取り得るというのは、
2x + y = k となる x,y が在るということ。
そのような x,y が存在しなければ、
2x + y は、値 k を取り得ない。

これが解れば、質問の問題は、
x~2 + y~2 = 4,
2x + y = k
という連立方程式が解を持つような k を求める
問題であると解る。
x,y のどちらか(どちらでもよい)を代入消去して、
未知数が 1 個の方程式に変形すると、
x または y の二次方程式となる。
その方程式に解が在る条件を出せばよいのだから、
判別式の符号を見ることになる。

大切なのは、冒頭 4 行の考え方。

回答No.2

noname#29493

問題は
実数x,yがx^2+y^2=4を満たしながら変化するとき
2x+yの取り得る値の範囲を求めよ。
ということだよね。
いいかえると、2x＋y=kとしたとき
「実数xがx^2＋(k-2x)^2-4=0を満たすとしたとき
kの値の範囲を求めよ。」
と言い換えられるのは分かる？こういうことなんだよ。
そうすると
xがx^2＋(k-2x)^2-4=0⇔5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たし、
もしも5x^2-4kx＋k^2-4=0において実数解をもたないことを考えると
どんな実数xに対しても5x^2-4kx＋k^2-4＞0で5x^2-4kx＋k^2-4≠0
これはxが5x^2-4kx＋k^2-4=0を満たしていることに矛盾するので
実数解をもたなくてはいけないことが分かった。
これでどうだい？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

まずどういう 2次方程式に対して、その条件が述べられていますか？
いきなり「実数解をもつ」とは言われていないと思います。

それと実数解をもつということは、どこかに「実数である」ことが書かれているはずです。
それを探し出してみてください。