dy(x)/dx +cos(x)y(x

質問

dy(x)/dx +cos(x)y(x)-sin(2x)=0の解き方を教えてください
dy(x)/dx +cos(x)y(x)=0なら変数分離法で解けるのですが

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

普通の解き方としては…
dy/dx + (cos x)y = 0 を貴方が解けるのであれば、
その解のひとつを y = y0 として、y = (y0)u を代入する。
未知関数 u について、微分方程式 (y0)(du/dx) = sin 2x
が得られるから、u = ∫{(sin 2x)/y0(x)}dx を計算する。
いわゆる、定数変化法。

初等的な解き方としては…
dy/dx + (cos x)y = sin 2x
の左辺が、積の微分公式で見た形 u(dy/dx) + (du/dx)y
になるように、u : du/dx = 1 : cos x となる u を探す。
du/dx = (cos x)u となるから、log u = sin x。
原式の両辺を u 倍して、(d/dx)(uy) = (sin 2x)u より、
y = e^(- sin x) ∫ (sin 2x) e^(sin x) dx。

やってることは、どちらも同じだけれど。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.3

spring135

一階線形微分方程式については一般解が求められている。

dy/dx+P(x)y=Q(x)

の解は

y=(∫Q(x)exp(∫P(x)dx)dx+c)exp(-∫P(x)dx)

これは微分方程式に関するどんな本にも書いてあるので参照されたい。

問題は

P(x)=cosx, Q(x)=sin(2x)

よって解は

y=(∫sin(2x)exp(∫cosxdx)dx+c)exp(-∫cosxdx)

=(∫sin(2x)exp(sinx)dx+c)exp(-sinx)

sin2x=2sinxcosx

d(exp(sinx))/dx=cosxexp(sinx) (1)

より

y=(∫2sinx[d(exp(sinx))/dx]dx+c)exp(-sinx)

部分積分の公式

∫f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]-∫f’(x)g(x)dx

において

f(x)=2sinx, g(x)=exp(sinx)

とおくと

y=([2sinxexp(sinx)]-∫2cosxexp(sinx)+c)exp(-sinx)

(1)をもう一度使って

y=([2sinxexp(sinx)]-2exp(sinx)+c)exp(-sinx)

=2sinx-2+cexp(-sinx)

これをもとの微分方程式に代入すると満たしていることがわかる。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

定数変化法は使える?

補足

いえ