絶対値を含む不等式の解

質問

つぎの不等式がすべてのｘについて成り立つとき、ａの範囲を求めよ。
［x^2-a]>x-a　　[ ]は絶対値

解答は次のような流れになっていましたが、よくわかりません。
アドバイスをお願いします。

<=> x^2-a>x-a ・・・(1)または　-x^2+a>x-a　・・・(2)

(1)または(2)を満たすｘがすべての数になるようにａを決める。

ここで、よくわからないのは、絶対値を外すときの条件として、(1)に
x<=-√ａ、√ａ<=x 　、 (2)に-√ａ＜ｘ＜√ａ　を加えなくてもよい理由をおしえてください。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問
>[(1)の場合、x^2-a≧0を満たすすべてのxに対して　x^2-x>0
が成り立ちませんのでこの場合のaは存在しません。]

>で、どうして、x^2-a≧0を満たすすべてのxに対して　x^2-x>0
>が成り立つ必要があるのか、教えてもらえないでしょうか。

(1)の x^2-a≧0を満たすxの範囲は以下のように求めます。
（訂正あり）

a≦0とすると
常にx^2-a≧0なのでこれを満たすxはすべての実数の範囲です。
このxの範囲で
x^2-a>x-a すなわち x^2>x　が常に成り立つことはない。つまりa≦0とはなりえないということです。

次に、a＞0の場合
x^2-a≧0を満たす「x≦-√a,√a≦x」の範囲のすべての実数xに対して
x^2-a>x-a すなわち x^2>x　が成り立つようなaは
a>1ですね。

なので
A#2の
>が成り立ちませんのでこの場合のaは存在しません。
は誤りで
正：が成り立つ場合のaの範囲は「a>1」となります。

>どうして、x^2-a≧0を満たすすべてのxに対して　x^2-x>0
が成り立つ必要があるのか、教えてもらえないでしょうか。

問題に「すべてのｘについて成り立つとき、ａの範囲を求めよ。」
とあり、成り立つことを要求しているからです。

>(1)または(2)で、すべてのｘについて成り立てばよいのかと思いました。

これは間違いで、「(1)および(2)で、…」です。
(1)および(2)の通しの範囲で、すべてのｘについて成り立つ様な(1),(2)共通のaの範囲をもとめる必要があり、それが「a>1」という答えとなる範囲です。

お礼

x^2-a≧0を満たすすべてのxに対して　x^2-x>0
が成り立つ必要があるのか、教えてもらえないでしょうか。

(1)または(2)で、すべてのｘについて成り立てばよいのかと思いまた。
以上２つの件、納得できました。
ありがとうございました。

回答No.3

hugen

|x^2-a|＝x^2-a または -(x^2-a)

回答No.2

info22_

>絶対値を外すときの条件として、
>(1)に x<=-√ａ、√ａ<=x 　、
>(2)に-√ａ＜ｘ＜√ａ　
>を加えなくてもよい理由をおしえてください。
ごもっともです。
その前に√aとルートの中に無条件にaが入るような場合わけはできません。なのでいきなり、
「(1)に x<=-√ａ、√ａ<=x 　、 (2)に-√ａ＜ｘ＜√ａ」
加えてはいけません。

以下のように場合分けすべきでしょう。
(1) x^2-a≧0かつ x^2-a>x-a
または
(2) x^2-a＜0かつ a-x^2>x-a

(1)の場合、x^2-a≧aを満たすすべてのxに対して　x^2-x>0
が成り立ちませんのでこの場合のaは存在しません。

(2)の場合、a-x^2>0（a＞0)を満たすすべてのxに対して　a-x^2<x-a
を満たすaの範囲は a＞1となる。

ポイント）(1)はy=x^2-a,y=x-a,（2)はy=a-x^2,y=x-aのグラフを描くと
理解しやすい。

[別解]として
y=|x^2-a|　と　y=x-a　のグラフを描くと　aの範囲として「a>1」がすぐ求められる。

[重要] 絶対値付のグラフを描けるようにしておくと良い(x軸の下にグラフが出たらその分をy≧0の方に対称に折り返すだけです)。

補足

[(1)の場合、x^2-a≧0を満たすすべてのxに対して　x^2-x>0
が成り立ちませんのでこの場合のaは存在しません。]
で、どうして、x^2-a≧0を満たすすべてのxに対して　x^2-x>0
が成り立つ必要があるのか、教えてもらえないでしょうか。
(1)または(2)で、すべてのｘについて成り立てばよいのかと思いました。

別解のグラフの方法は、ｙ＝［x^2-a]+a とｙ＝ｘで考えたらすぐに分かりました。

回答No.1

4028

書いてもいいですが
採点では見ません。

書いた方が丁寧かと思いますが・・・

私は書くことが多いかな