絶対値を含む不等式の問題

質問

絶対値を含む不等式の問題で分からない所があります。

a＞0 のとき，不等式 |x|＜a の解が， -a＜x＜a になる理由が分かりません。

回答よろしくお願い致します。

回答No.6

mmk2000

初めはとっつきにくいですよね。
このときは、具体的な数字を当てはめて考えましょう。

|x|<3
これはxの絶対値が3より小さいもの全てってことですよね。

数直線を引いて考えてみてください。

-3の絶対値は3
-2の絶対値は2
-1絶対値は1
0の絶対値は0
1の絶対値は1
2の絶対値は2
3の絶対値は3
こうやって考えると、絶対値が３より小さい数字というのは-3<x<3ですよね。

ざっくり言えば|x|は数直線の0からの距離を表しますから
|x|<3
は0からの距離が3より小さいところ、と言う意味です。

そう考えれば
|x|＜a
は0からの距離がaより小さいところ、と言う意味ですから
-a＜x＜a

回答No.5

noname#154783

他の方が答えてらっしゃることのほうがより本質的なんだと思いますが，「こうやっても結果が得られますよ」って程度のことを書いておきます．

x ≧ 0のとき |x| = x，
x < 0のとき |x| = -x
ですよね．

xは0以上または0未満のどちらかなので，場合分けします．

i) x ≧ 0のとき．
|x| = x < aより
0 ≦ x < a. …(1)

ii) x < 0のとき．
|x| = -x < aより
0 > x > -a. …(2)

(1)または(2)より(添付図参照)
-a < x < a.

回答No.4

noname#221867

すみませんmmmoaiです。
間違えて２回回答してしまいました。
ANo.2ではなくANo.3を見てください。

回答No.3

noname#221867

絶対値の|X|のはずし方は分かるでしょうか？
絶対値は原点Ｏ（簡単に言うとゼロのこと）からの距離です。

例えば、２、－２はともにゼロからの距離は２ですよね
なので|２|も|-2|も|　|をはずすと２になります。
Ｘで考えるとX=2とX=-2のときも|X|=2となります。

つまりX>0 X<0のときの二通りあるので
|X|は±Ｘとなる。…これ重要

|x|＜aは±x<aとなり
ｘ＜a　（式１）
-x＜a　⇒　ｘ＞-a (式２)
（式１）に（式２）を代入すると-a<x<aとなります。

文字式が分からなくなったら実際に数字を入れてみてから
考えるといいと思います。

回答No.2

noname#221867

絶対値の|X|のはずし方は分かるでしょうか？
絶対値は原点Ｏ（簡単に言うとゼロのこと）からの距離です。

例えば、２、－２はともにゼロからの距離は２ですよね
絶対値は必ずプラスの値になります。
つまり|X|のXがX＞０ならばそのまま|　|をはずして、
X＜０ならば－をつけて－|X|としてから|　|をはずします。
|-2|の|　|をはずすときは-|-2|=-(-2)=2となります。

つまり|X|はX＞０、X＜０の時があるので
|　|をはずすと±Xとなります。
このことから|X|=±X…これ重要

なので±x<aとなり
ｘ＜a　（式１）
-x＜a　⇒　ｘ＞-a (式２)
（式１）に（式２）を代入すると-a<x<aとなります。

重要なのは|X|＝±Ｘの所です。

文字式が分からなくなったら実際に数字を入れてみてから
考えるといいと思います。

回答No.1

info22_

aの代わりに正の具体的な数値、たとえば
2や3などで置き換えてみれば分かるかと思います。

a→2 とすれば　|x|<2 ⇒ -2<x<2 となりませんか？
a→3 とすれば　|x|<3 ⇒ -3<x<3 となりませんか？
x=-1やx=1としてどちらの不等式も成り立つでしょう。
お分かりですか？

aはそういった数値の代表でもあるので、迷ったら文字定数（文字変数）に具体的な数値を
代入して確かめる方法を確実にものにしておこう。