極座標による２重積分

質問

z=4-x^2-y^2とxy平面とで囲まれた立体の体積

どうして0≦r≦2になるとか、∬の前に２がつくのとか全然わかりません（泣）

できれば全部の解答お願いします・・・

回答No.3

info22_

#2です。

>実際に積分するのは、∬zdxdy　で良いのですか？
積分領域が定義してない積分は積分とはいえません。

V=∬[D] (4-x^2+y^2)dxdy,D={(x,y)|x^2+y^2≦4}
V=∫∫∫[A] dxdydz,A={(x,y,z)|0≦z≦4-x^2-y^2}
通常積分を実行する場合は逐次積分法を適用して、一変数ずつ積分して、積分領域全体を過不足なく積分するように積分範囲を決めてやります。

極座標を使っての逐次積分法を適用の場合
V=∫[0→2π]dθ∫[0→2] r√(4-r^2)dr
=4{∫[0→π/2]dθ}{∫[0→2] r√(4-r^2)dr}
=2{∫[0→π]dθ}{∫[0→2] r√(4-r^2)dr}

直交座標を使っての逐次積分法を適用の場合
V=∫[-2→2]{∫[-√(4-x^2)→√(4-x^2)] (4-x^2-y^2)dy}dx
=4∫[0→2]{∫[0→√(4-x^2)] (4-x^2-y^2)dy}dx
V=∫[-2→2]{∫[-√(4-y^2)→√(4-y^2)] (4-x^2-y^2)dx}dy
=∫[0→2]{∫[0→√(4-y^2)] (4-x^2-y^2)dx}dy

積分をやってみて下さい。
質問はやった所までの計算過程を補足に書いた上、分からない箇所を聞いてください。

回答No.2

info22_

>どうして0≦r≦2になるとか、∬の前に２がつくのとか全然わかりません（泣）
変換した式が書いてなくて、その積分の式における
積分範囲や２について質問しても質問になりません。

積分の仕方で、2倍にも4倍にもなります。
立体の対称性を考えれば理解できるはずです。

rの積分範囲はz≧0とおいた
4-x^2-y^2≧0が積分領域で、半径r=2の円の内部ですから、極座標に変換した積分の積分領域では、0≦r≦2　となります。

>できれば全部の解答お願いします・・・
（課題等の丸解答は利用規定違反になりますので要望却下）

補足

ご丁寧にありがとうございます。

実際に積分するのは、∬zdxdy　で良いのですか？

回答No.1

Tacosan

どのような立体なのか, 頭の中でイメージできますか?