2重積分

質問

z=√(a^2-x^2-y^2)とxy平面で囲まれる部分の体積

参考書によると、2/3πa^3です。

詳しい解説お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

半径aの球の上半分の体積Vは
半径aの球の体積(4/3)πa^3の(1/2)であるから
V=(4/3)πa^3 ×(1/2)=(2/3)πa^3
となりますが、
２重積分を用いて体積を求めたいなら

V=∫∫[D] zdxdy, D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2},z=√(a^2-x^2-y^2)
=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2)dxdy
x=rcos(t),y=rsin(t)と置換積分すると
D⇒E={(r,t)|0≦r≦a,-π≦t≦π}
√(a^2-x^2-y^2)dxdy=√(a^2-r^2) rdrdt
より
V=∫∫[E] (a^2-r^2)^(1/2) rdrdt
=∫[-π,π]dt∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr
=2π∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr
=2π[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][0,a]
=2π{(1/3)a^3
=(2/3)πa^2
と体積を計算できます。

お礼

返信が遅くなり、すみません。
なぜ、-π≦t≦πとなるのですか？

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2の補足の質問の回答

>なぜ、-π≦t≦πとなるのですか？

x=rcos(t),y=rsin(t)のとき
直交座標(x,y)平面の領域
D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2}
と極座標(r,t)平面の領域
E={(r,t)|0≦r≦a,-π≦t≦π}
は同じ領域を表している、つまり
原点を中心とする半径aの円（円周及び円内領域）を表しています。
DとEは座標系の違いだけで、同じ領域を表す（同値）別表現ですね。
この場合極座標表現の角度θ（ここではt）の範囲は、-π≦t≦πでも0≦t≦2πでも構いません。
両者とも同じ領域を表します。

なお領域Eが原点を中心とする半径aの円（円周と円の内部）を表すことが分からなければ、教科書の極座標のところを復習してみるといいでしょう。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
わかりました。

回答No.1

Tacosan

半径 a の球の (上) 半分だから
(4/3)πa^3 ÷ 2 = (2/3)πa^3.