積分について

質問

平面x+y+z=1と座標面（xy平面、yz平面、xz平面）とで囲まれる部分の体積を求めよ。
という問題があるのですが、全くわからなくて困っています。
どうか皆さん助けてください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

平面x+y+z=1とx軸、y軸、z軸の交点を順にA,B,Cと置くと
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)となることが分かりませんか？

原点をO(0,0,0)とすると、求める体積の立体は直角三角錐OABD
になります。
底面の三角形OABは
OA=OB=1、∠AOB=90°
の直角三角形です。
三角錐の高さOC=1
です。
三角錐の体積Vは
V=(1/3)*(底面の面積)*高さ
で計算できませんか？

それとも、重積分を使って
V=∫[x:0,1]dx∫[y:0,1-x] (1-x-y)dy
で計算したいのですか？

いずれにしてもV=1/6
となりますね。

お礼

そうです。
重積分で解く方でした。
おかげで見事解くことができました。
すばやい回答ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

いやいや、きっと積分を使うことでよく知られた公式を再確認しようという意図なんだよ。

回答No.1

dxdydzdw

題名は「積分」になっていますね。積分で求めなければいけないのでしょうか？
早い話、どんな形になるかおわかりでしょうか。
問題の平面と、それぞれの面との交線がどうなっているのか、あるいはもっといえば問題の平面とｘ軸、ｙ軸、ｚ軸のそれぞれとの交点がどうなっているかがおわかりになれば、きわめて単純な形になることがわかり、積分するまでもなく体積がわかるのですが。