積分 体積 表面積

質問

(1)円柱x^2+y^2=a^2(a>0)のxy平面の上方でかつ平面z=xの下方にある部分の体積

(2)双曲放物面z=xy,柱面(x-2)^2+(y-1)^2=1および平面z=0によって囲まれる部分の体積

(3)底面の半径aの直円柱から、その底面の直径を通り底面とα(0<α<π/2)の角をなす平面で切り取った部分の体積

(4)2つの放物柱面z=1-x^2,x=1-y^2によって囲まれる立体をxy平面で切った部分の体積
（ヒント；0≦z≦1-x^2,x≦1-y^2よりxy平面のD領域を求める。)

以上の問題をどなたか解いてください、お願いします。
積分範囲の求め方について詳しい解説がいただけると幸いです。

回答No.5

info222_

No.1～4です。

続いて
(4)です。

体積Vの立体図形の図を描いて積分領域Dを把握してください。

V=∫∫[D] (1-x^2) dxdy, D={(x,y)| -1≦x≦1-y^2, -√2≦y≦√2}
=2∫∫[0, √2] dy∫[-1,1-y^2] (1-x^2) dx
=2∫[0, √2] ( [x-(1/3)x^3][x:-1,1-y^2]) dy
=2∫[0, √2] (1-y^2+1-(1/3)((1-y^2)^3+1)) dy
=2∫[0, √2] (2-y^2-(1/3)(2-3y^2+3y^4-y^6)) dy
=2[ 2y-(1/3)y^3-(1/3)(2y-y^3+(3/5)y^5-(1/7)y^7)][0, √2]
=2√2 [2-(2/3)-(2/3)+(2/3)-(4/5)+(8/21)]
=2√2 [2-(2/3)-(4/5)+(8/21)]
=(64/35)√2 …(答)

回答No.4

info222_

No.1～3です。

続いて
(3)です。

底面の半径aの直円柱から、その底面の直径を通り底面とα(0<α<π/2)の角をなす平面で切り取った部分の体積V

直円柱の高さが書いてないので底面と底面の直径を通り底面とα(0<α<π/2)の角をなす平面で切り取られる立体図形の体積（小さい方の体積）と解釈します。

この体積Vの求め方は(1)の変形に過ぎません。
体積Vを求める立体図形を描くようにしてください。

V=∫∫[D] xtanαdxdy, D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2, x≧0}
x=ar cosθ, y=ar sinθ (-π/2≦θ≦π/2, 0≦r≦1)で置換積分
V=tanα∫∫[E] ar cosθ (a^2)rdrdθ,
　E={(r,t)|-π/2≦θ≦π/2, 0≦r≦1}
=(a^3)tanα∫[-π/2,π/2]　cosθdθ∫[0,1] r^2　dr
=2(a^3)tanα∫[0,π/2]　cosθdθ∫[0,1] r^2　dr
=2(a^3)tanα([sinθ][0,π/2])（[(1/3)r^3][0,1])
=2(a^3)tanα*1*(1/3)
=(2/3)(a^3)tanα …(答)

回答No.3

info222_

No.1～2です。

続いて
(2)
双曲放物面z=xy,柱面(x-2)^2+(y-1)^2=1および平面z=0によって囲まれる部分の体積V

体積Vを求める立体図形を描き立体的なイメージするようにしてください。

V=∫∫[D] xydxdy, D={(x,y)|(x-2)^2+(y-1)^2=1, 0≦x, 0≦y}
x-2=r cosθ, y-1=r sinθ (-π≦θ≦π, 0≦r≦1)で置換積分
V=∫∫[E] (2+r cosθ)(1+r sinθ) rdrdθ,
　E={(r,t)|-π≦θ≦π, 0≦r≦1}
=∫[-π,π] dθ
∫[0,1] (2r+2r^2*sinθ+r^2*cosθ+r^3*sinθ*cosθ) dr
=∫[-π,π] dθ∫[0,1] 2r dr
+∫[-π,π] dθ∫[0,1] 2r^2*sinθ dr
+∫[-π,π] dθ∫[0,1] r^2*cosθ dr
+∫[-π,π] dθ∫[0,1] r^3*sinθcosθ dr
=2π[r^2][0,1]
+∫[-π,π] sinθdθ∫[0,1] 2r^2 dr
+∫[-π,π] cosθdθ∫[0,1] r^2 dr
+(1/2)∫[-π,π] sin(2θ)dθ∫[0,1] r^3 dr
=2π+0+0+0
=2π …(答)

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo.1の(1)の積分領域Dの凡ミスの訂正。

>D={(x,y)|x^2+y^2=a^2, x≧0}　←「=」は間違い。

正しくは
D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2, x≧0}
です。
訂正願います。

回答No.1

info222_

丸投げの他力本願ではなく、少しでも自力でやることで、数学の実力がアップします。わかる範囲で解答を書き、わからないところだけ質問しましょう。詳細な解説つき丸解答を求めるのはあなたのためになりません。

なので詳細な解説も丸解答もしません。解答が理解できないようならまず教科書を復習しなおして下さい。

先ず、(1)だけ
(1)
円柱x^2+y^2=a^2(a>0)のxy平面の上方でかつ平面z=xの下方にある部分の体積V

体積Vを求める立体図形を描くようにしてください。

V=∫∫[D] xdxdy, D={(x,y)|x^2+y^2=a^2, x≧0}
x=ar cosθ, y=ar sinθ (-π/2≦θ≦π/2, 0≦r≦1)で置換積分
V=∫∫[E] ar cosθ (a^2)rdrdθ,
　E={(r,t)|-π/2≦θ≦π/2, 0≦r≦1}
=(a^3)∫[-π/2,π/2]　cosθdθ∫[0,1] r^2　dr
=2(a^3)∫[0,π/2]　cosθdθ∫[0,1] r^2　dr
=2(a^3)([sinθ][0,π/2])（[(1/3)r^3][0,1])
=2(a^3)*1*(1/3)
=(2/3)a^3 …(答)