高校数学、立体座標に関する質問

質問

（問題）そのままです
ｘｙｚ空間において、０≦ｘ≦１、０≦ｙ≦１、０≦ｚ≦１、ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－１≧０が成り立つ。

この立体を平面ｚ＝ｔを切ったときの断面をｘｙ平面に図示し、この断面の面積S(t)を求めよ。
（疑問）
ｚ＝ｔ（ｔは０≦ｔ≦１）を満たす。とすると、
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｔ＾２－２ｘｙ－１≧０⇔（ｙ－ｘ）＾２≧１－ｔ＾２
⇔ｙ－ｘ≦ー√（１－ｔ＾２）または√（１－ｔ＾２）≦ｙ－ｘ
⇔ｙ≦ｘ－√１－ｔ＾２またはｘ＋√（１－ｔ＾２）≦ｙ（√１－ｔ＾２は定数と考えられるから、ｘｙ平面を考えればよいという方針）
図示した結果が添付画像の左です。
（疑問）
ｚ＝ｔを満たす平面というのは右の赤点（ｋと書かれています、ごめんなさい)を通ってｘｙ平面に平行ということですよね?そうすると本問の結果（右の画像）から考えると、、ｘｙ軸は直線ではない（平面のように広がっている）ということになりませんか?
それとも本問のｘｙ平面というのは空間上のものではないのでしょうか？
変な事を言っていたらごめんなさい。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足について

>本問の立体をｚ＝ｔという垂直な平面できり、
この文では言葉足らずで意味が通じないので次のように書けば良いかと→
点A(0,0,t)を通るz軸に垂直な平面による切断面（図の赤色の△BEFと△DGHの２つ）を考え

>それを積み重ねると体積が求められる。というのが」実感できました。

これは問題文に書いてないけど、水色の立体図形の体積Vを求めたいのでしょうか？
一応求めてみると
V=∫[0→1] S(t)dt
　=∫[0→1] {1-√(1-t^2)}^2 dt=(5/3)-(π/2)　（=0.095870…）
となりますが。

(疑問)と問題文の
>この立体を平面ｚ＝ｔを切ったときの断面をｘｙ平面に図示し、この断面の面積S(t)を求めよ。

この断面を含む平面は添付図のA(0,0,t)を原点とし図のようにX軸、Y軸をとりできるXY座標平面をそっくり、２次元xy座標平面に写し変えれば
問題で求める「xy平面の図」となります。この断面の面積S(t)はすでにANo.2で求めた通りです。

ANo.3の補足について

>左の図ではｚ＝ｔという前提があるので、
>x軸はｙ＝０かつｚ＝ｔ、y軸はｘ＝０かつｚ＝ｔを満たす。ということでしょうか？

この意味は３次元ｘｙｚ座標空間で、z=tの平面上に、A(0,0,t)を原点としX軸（直線AB）をx軸、Y軸（直線AD） をy軸とするXY座標平面を考え、この上に立体の切断面を描いた図を２次元xy座標平面にそのまま写像した、つまり　写しとった２次元の図が、問題が要求する「xy平面の断面図」となります。

お礼

有難うございました。
３次元について、慣れていきたいと思います。

回答No.3

transcendental

図示せよというのは、この立体を、「平面ｚ＝ｔ」で切ったときにできる図形を、”ｘｙ平面上”にストンと落としたときにできる図形のことです（「ｘｙ平面への正射影」という）。

補足

左の図ではｚ＝ｔという前提があるので、
x軸はｙ＝０かつｚ＝ｔ、y軸はｘ＝０かつｚ＝ｔを満たす。ということでしょうか？

回答No.2

info222_

問題の立体図形の立体的な把握が十分なされていないようなので、少々手間がかかりましたが、立体図を描いてみたので添付します。
問題の立体図形は、図の水色の格子の立体です。
　0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦1-(x-y)^2≦z≦1
この立体図形をz=tの平面
　z=t (定数t：0≦t≦1) …(※1)
　(0≦x≦1, 0≦y≦1) …(※2)
で切断するとき、この切断平面が緑色の格子の平面ABCDです。
切り出される立体の切断面が図の黒枠の赤色で塗りつぶした２つの直角二等辺三角形△BEF, △DGE(２つは合同)になります。

>（疑問）
>ｚ＝ｔを満たす平面というのは右の赤点（ｋと書かれています、ごめんなさい)を通ってｘｙ平面に平行ということですよね?

私が描いた図ではz軸に「t」と描き込んだ点A(0,0,t)に相当します(0≦t(=z)≦1)。
z軸のz<0の方にお書きのkの点は、問題の立体図形が存在していないので無意味です。

>そうすると本問の結果（右の画像）から考えると、、ｘｙ軸は直線ではない（平面のように広がっている）ということになりませんか?

（※1）に書いたように、z=t　は３次元での平面(添付図の緑の平面です)でがx,yに制限がない場合無限に広がります（ｘｙ座標平面に平行）が、
問題の立体では（※2）のようにx,yの範囲が0～1に制限されているのでこの平面（切断平面）は一辺1の正方形内部領域になります。

>それとも本問のｘｙ平面というのは空間上のものではないのでしょうか？

(※1)、(※2)の平面(緑格子の平面)ですから、３次元空間の平面です。
問題が求めているのはz=t(定数)の平面を２次元のxy座標平面として描いた平面であって、tjag さんの図の左の図になります。
添付図の緑の格子の正方形を含む平面を取り出して、改めて２次元のxy座標平面に描き直したものです。
この図を描けばいいのです。

tjag さんの図には記号が割り振ってないので、添付図のように記号を割り振ります。
（※2）の正方形領域ABCDとこの切断面で切り出される立体図形の２つの直角二等辺三角形△BEF, △DGE(２つは合同)の切断面の面積は
　BE=BF=DG=DH=1-√(1-t^2) より
　一辺がBEの正方形の面積に等しくなるので
　断面の面積S(t)=(1-√(1-t^2))^2=2-t^2-2√(1-t^2) …（答）

なお、tjag さんの図で、添付図のHの点のx座標は
「-√(1-t^2)」ではなくて「1-√(1-t^2)」
です。他は合ってます。

お礼

本問の立体をｚ＝ｔという垂直な平面できり、それを積み重ねると体積が求められる。というのが」実感できました。
有難うございました。

回答No.1

meowcoooo

>ｘｙｚ空間において、０≦ｘ≦１、…
のxyz空間座標と
>この立体を平面ｚ＝ｔを切ったときの断面をｘｙ平面に図示し…
のxy平面は別のグラフを使うことになります。
空間座標のx軸y軸と
平面座標のx軸y軸は
立体に対して異なる位置にあることになりますね。

空間座標でz=tで表される平面を
新たなxy平面座標として考えます。

お礼

本問の立体をｚ＝ｔという垂直な平面できり、それを積み重ねると体積が求められる。というのが」実感できました。
有難うございました。

補足

立体座標上でｚ＝ｔで切った時の断面を考えると、どのようになるのでしょうか？