数III 積分 体積

質問

xy平面上に、底面がx^2+y^2=4で表される円となる様な円柱を置く。(高さは十分にある)
この円柱を、直線x=1を含み、x軸負の方向と45°の角をなす平面で切った時、この平面の下側にできる立体の体積を求めよ。

y=-√3~√3の部位の処理は出来ているのですが、残りの部分の処理がうまくいきません。
解説お願い出来ますでしょうか。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

V=2∫ [-2,1] { ∫[0, √(4-x^2)] (1-x)dy} dx
=2∫ [-2,1] (1-x)√(4-x^2) dx
=2[2sin^-1(x/2) +(x/2)(4-x^2)^(1/2)+(1/3)(4-x^2)^(3/2)][-2,1]
=(8/3)π+3√3

お礼

解説ありがとうございます。

回答No.2

gamma1854

D={(x, y)| x^2+y^2≦4, 1≦x} として、
V=∫∫[D](-1+x)dxdy. となります。
計算すると、
V=∫[1~2]{∫[-√(4-x^2)~√(4-x^2)] (-1+x)dy}dx
=2∫[1~2](-1+x)√(4-x^2)dx.
確認して計算してください。
x=2*sinφ, (|φ|≦pi/2) とおく。
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お礼

解説ありがとうございました。積分式中に積分を入れるのもアリなのですね。