σ加法族その他

質問

宜しくお願いします…。
解答が分からないと勉強のしようがないので…。

問:(S,A,μ)を測度空間とする。fを非負可測関数,すなわち任意のx∈Sに対して
f(x)≧0で

・∫S(f)dμ=0
(Sは下つきで積分範囲です)

を満たすものとする。このときf=0がほとんどいたるところで成り立つことを以下のようにしめせ。

①自然数nに対して
An={x∈S|f(x)≧1/n}とするとき
μ(An)≦n∫S(f)dμ
が成立することを示せ。

②μ(An)=0であることをしめせ。

③μ(∪An)(n≧1)=0が
成り立つことを示せ

④fはS上ほとんど至る所0であることを示せ。

回答No.1

rinkun

この手の問題は事前に回答が分かっていると自分で考えないので勉強にならないと思いますが……

(1)
(1/n)μ(An)≦∫S(f)dμ
について、ルベーグ積分の定義を考えるとほぼ自明でしょう。
解答としては積分の定義を示して具体的に説明することが必要ですが。
(2)
μ(An)=ε＞0とすると、(1)より0＜ε/n≦∫S(f)dμとなり仮定に反する。
(3)
(2)とμのσ加法性より。
(4)
fが0でない点が∪Anであることと(3)から。

要点しか書いてないので自分で納得できるまで詳細を詰めて下さい。
この手の問題では自分で絶対間違いないと確信できるまで詳細を詰めるのが勉強です。