ルベーグ解析です。

質問

（Ｓ,А,μ）を測度空間とする。ｆは非負可測関数で、Ｓにおいて可積分とする。

(1)Ａｎ＝｛ｘ∈Ｓ｜ｆ（ｘ）≧ｎ｝に対して、
ｎμ（Ａｎ）≦||f||：＝∫ｆ ｄμ
が成り立ち、｛Ａｎ｝が集合の減少列であることとμ(∩Ａｎ)＝０が成り立つことを示せ。
(2)ｆはＳ上ほとんど至る所有限であることを示せ。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

こういった、用語の定義確認を中心とする例題は、
教科書くびっぴきで答案を自作することに
意義があるんですが…

(1)
f が正値有界可測関数なので、An ⊆ S より、
∫[An上] f dμ ≦ ∫[S上] f dμ.

An上では、f ＞ n であるから、
左辺 ＞ ∫[An上] n dμ = n ∫[An] dμ = n μ(An).

また、定義により、
右辺 = ∥f∥.

よって、
n μ(An) ＜ ∥f∥.

An が減少列であるとは、A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ …
であることで、
f ＞ n+1 ならば f ＞ n が言えることから従う。

∩ の定義により、任意の k について ∩An ⊆ Ak
だから、μ(∩An) ≦ μ(Ak).
k→∞ の極限をとれば、
μ(∩An) ≦ lim[k]
μ(Ak) ＜ lim[k→∞] ∥f∥/k = 0.

(2)
上記で示した式を、文章で書くときには、そう書く。