ルベーグ積分の問題です。至急お願いします！

質問

お手数だとは思いますが
お願いします。

(S,A,μ)を測度空間とする。fを非負可測関数,すなわち任意のx∈Sに対して
f(x)≧0で
・∫S(f)dμ=0
(Sは下つきで積分範囲です)
を満たすものとする。このときf=0がほとんどいたるところで成り立つことを以下のようにしめせ。
(1)自然数nに対して
An={x∈S|f(x)≧1/n}とするとき
μ(An)≦n∫S(f)dμ
が成立することを示せ。

(2)μ(An)=0であることをしめせ。

(3)μ(∪An)(n≧1)=0が
成り立つことを示せ

(4)fはS上ほとんど至る所0であることを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
f(x)≧0
∫_{S-An}(f)dμ≧0
∫_{S}(f)dμ=∫_{An}(f)dμ+∫_{S-An}(f)dμ≧∫_{An}(f)dμ≧∫_{An}(1/n)dμ=μ(An)/n
∴μ(An)≦n∫_{S}(f)dμ

(2)
∫_{S}(f)dμ=0
自然数n≧1に対して
0≦μ(An)≦n∫_{S}(f)dμ=n*0=0だから
μ(An)=0

(3)
自然数n≧1に対して
Anは可測集合で
μ(An)=0
だから
0≦μ(∪_{n=1～∞}An)≦Σ_{n=1～∞}μ(An)=Σ_{n=1～∞}0=0
μ(∪_{n=1～∞}An)=0

(4)
f(x)≧0
0=μ(∪_{n≧1}An)
=μ(∪_{n≧1}{x∈S|f(x)≧1/n})
=μ({x∈S|f(x)>0})
=μ({x∈S|f(x)≠0})
だから
「f(x)≠0となるx∈Sの集合の測度が0」
←def→「fはS上ほとんど至る所0」
の定義より
fはS上ほとんど至る所0である

お礼

ほんっとうにありがとうございます！！！！助かりました！！！
図々しいですがよければもう1問のルベーグ積分の問題も解いていただけないでしょうか？お願いします。

回答No.1

muturajcp

(1)
f(x)≧0
∫_{S-An}(f)dμ≧0
∫_{S}(f)dμ=∫_{An}(f)dμ+∫_{S-An}(f)dμ≧∫_{An}(f)dμ≧∫_{An}(1/n)dμ=μ(An)/n
∴μ(An)≦n∫_{S}(f)dμ

(2)
μ(An)≦n∫_{S}(f)dμ=0だから
μ(An)=0

(3)
Anは可測集合だから
μ(∪_{n≧1}An)=Σ_{n≧1}μ(An)=0

(4)
μ(∪_{n≧1}An)=μ({x∈S|f(x)≠0})=0
だから
fはS上ほとんど至る所0である

補足

回答していただき本当にありがとうございます！
質問なんですが(2),(3),(4)は詳しい計算式など書かなくても答案としては大丈夫ですか？
もし必要でしたらお願いします。