微分可能

質問

微分積分
an>0（n＝1、2、3、…）のとき、Σ（n＝1→∞）anが収束すれば∏（n＝1→∞）（1＋an）も収束することを示せ。

回答No.6

statecollege · ベストアンサー

私のこの質問にたいする回答は二転、三転したが、私のANO３で示した「反例」は間違っていたことがわかった。質問の命題は正しい命題だ。以下に証明を示す。間違った反例でもって、あなたを「わざと引っかけ質問をする釣り師」呼ばわりしたことを謝る。

算術平均は幾何平均より大であるか、等しいという事実を用いる。これより

　　　　(1/n)∑(1,n)(1+ai)≧[Π(1,n)(1+ai)]^(1/n)

よって両辺をｎ乗して

[1+(1/n)∑(1,n)ai]＾ｎ≧Π(1,n)(1+ai) (1)

が成り立つ。いま、∑(1,∞）ai=aとおくと（仮定により収束することに注意）、(1)の左辺は

　　[1+(1/n)a]^n≧[1+ (1/n)∑(1,n)ai]＾n

が成り立つから、bn = Π(1,n)(1+ai)とおくと、

　　[1+(1/n)a]^n　≧ bn　　　　　　　　　(2)

となる。ところが、bnは増加列だから、（ある有限値）に収束するか、無限大に発散するかのいずれかである。
いま、仮にbnは無限大に発散するとしてみよう。このとき、(2)においてn → ∞とすると

　　　e^a ≧∞

となり矛盾。ただし、eは自然対数の底で、lim n→∞ [1+(1/n)a]^n = e^aとなることを用いた。
よって、(2)の右辺bn = Π(1,n)(1+ai)は収束しなければならない。

回答No.5

statecollege

・反例が理解できたのだろうか？あなたの提出した質問の命題は成立しないということだ！納得できないなら、もう一度提出して、ほかの回答者にこの命題を証明できるかどうか判断求めたらどうか？何なら、この反例をつけてこの反例は正しいでしょうか、と質問したらよい。

・どう意味かって？あなたはわざわざ間違った質問を出して、この

　　http://okwave.jp/qa/q7456895.html

にあるANo.10さんが書いているように、「悪質質問者も2種類有り、釣り師というかわざと引っかけの質問をして、回答が付くとねちねちと絡んでくる。」という意味での「悪質質問者」だといっているのだ。

回答No.4

statecollege

なるほど、あなたは

　　　http://okwave.jp/qa/q7456895.html

の類の質問者だ！よく覚えておくことにしよう。

補足

つまりどういう意味でしょうか？

あと、質問の答えになっていませんが。

回答No.3

statecollege

確かに

Π(1,n)(1+ai)　≦１+Σ(1,n)ai・Σ(1,n)ai

は成り立ちません！

よく考えてみると、この問題は正しいでしょうか？反例を簡単に作れます。いま、ai=（1/2)^i、i=1,2,...　とおくと、
Σ(1、∞)ai = 1/2+ （1/2)^2+・・・＝1 <∞なので、問題の条件を満たす。しかし、

　　　Π(1,∞）(1+ （1/2)^i) = 3/2 ×5/4×9/8 ・・・　= ∞　

と無限大に発散してしまい、収束しない！したがって、この問題は問題そのものが間違っていると言わざるを得ない。

回答No.2

statecollege

>収束することを示すのになぜ＜∞なのでしょうか？
以下、この質問に答えます。

　　　Σ(1,n)aiを無限級数の部分和というが、ai＞０だから、部分和はnについての増加列であることに注意。増加列は無限大に発散するか、有限値に収束するかのいずれかである。Σ(1,∞）ai＜∞という記号は無限級数が有限、すなわち、無限級数が収束する（部分和が有限値に収束する）ことを表わす記号なのだ。（収束しなければ、Σ(1,∞）ai = ∞となる）。
同じように、Π(1,n)(1+ai）は部分積で、ｎについての増加列であることに注意。（1+ai＞１となることに注意されたい）。　したがって、上の場合とまったく同様、Π(1,∞）(1+ai）<∞ということは、無限積が収束する（部分積がｎ→∞のとき収束する）ことを意味する。（収束しなければ、Π(1,∞）(1+ai） = ∞となる。）

補足

なるほど良くわかりました。

数学的帰納法で証明できません。
まず0＜a1＜1のときなりたたないような。

またその後の証明もできません。（n＝kのとき）
教えて下さい。

回答No.1

statecollege

まず

Π(1,n)(1+ai)　≦１+Σ(1,n)ai・Σ(1,n)ai

を証明する。（数学的帰納法を用いて証明しなさい）。

つぎに、上の不等式の両辺においてn→∞とする。右辺は問題の仮定によって

　　１＋Σ(1、∞）ai・Σ(1、∞）ai　＜∞

よって、Π（1,∞)(1+ai)＜∞と求める結果を得る。

補足

＞よって、Π（1,∞)(1+ai)＜∞と求める

収束することを示すのになぜ＜∞なのでしょうか？