何故マイナスも必要なのか？

質問

何故マイナスも必要なのか？

(a0,a1,・・・,anは整数であるとして、）
f(x)=anx^n+an-1x^n-1+・・・+a1x+a0
に対して、もしf(α）=0を満たす有理数αが存在するならば、αは+-a0の約数/anの約数
（負の数も含む）に限られる。

教えてほしいところ
何故、a0の約数/anの約数じゃダメなんですか？？
また（負の数も含む）とは何に対して言っているんですか？？？

回答No.3

mattsan · ベストアンサー

難しいところですね。
本来は±｜a0｜の正の約数/｜an｜の正の約数 か
　　　±｜a0の約数｜/｜anの約数｜
ちょっとゆずって　±｜a0｜の約数/｜an｜の約数
と記述するところだと思います。

>何故、a0の約数/anの約数じゃダメなんですか？？

　これでもＯＫなんですが、このように書いてしまうと、誤解を招くことに
なりかねないからです。「頭に符号がない」<=>「＋」という先入観が強いと
「＋しかだめなんだ」という理解をする人が少なくないんです。なので、
あえて、±を付けているのだ思います。

　a0 も an もマイナスになる可能性を持っています。
　中学段階では「約数」というと、18の約数は「1,2,3,6,9,18」。
自然数の世界での話ですので。負の数を習う前かも。
　高校段階では18の「"正の"約数」が「1,2,3,6,9,18」。
「約数」は「1,2,3,6,9,18,-1,-2,-3,-6,-9,-18」。
ですので、候補をさがすときに、たとえば、3/(-2)とか(-4)/(-3)など、符号で混乱するケースが多いと思います。それを回避するためには、中学段階での「約数」か、「正の約数」としたほうが、高校生にとっては理解しやすいと思います。

>（負の数も含む）
　これも変ですね。a0とanを指していると思いますが。でも、「-18の約数は？」と聞かれて、2とか9とかは出にくいでしょうね。「-1,-2,-3,-6,-9,-18」で止まってしまうでしょうね。「18の約数とどこが違うの？？？」と聞かれたら「同じ」って言ってしまうでしょうね。「なんで？？？」「う～～ん」「そんなややこしい問題を出さないでよ!！！！」

　ということで、いかがでしょうか。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

一番簡単な例として、以下の 2次の整式を考えることにします。
f(x)＝ a(x^2+ b 'x+ αβ)

これを因数分解したときに
f(x)＝ a(x-α)(x-β)となる場合と
f(x)＝ a(x+α)(x+β)となる場合

の 2とおりを考えることができます。
（いまの例では、b 'の値によって符号が決まります。）

そもそもの問題（？）は、因数分解するときの因数となる「候補探し」ですから、
上の場合のいずれになるかもわからない状況からスタートしています。
よって、±の符号も考慮した候補を考えることになります。

逆に、因数分解した後の形から、もとの整式に展開する様子を考えてもいいかもしれませんね。

回答No.1

Kules

疑問に思っているところがよくわかりませんが、
>何故、a0の約数/anの約数じゃダメなんですか？？
というのは「何故±がついてないといけないのか」ということですかね？
だとすると
>また（負の数も含む）とは何に対して言っているんですか？？？

も同様のところに引っ掛かっているもののような。

まず、約数という時、一般に（というか習慣的に）正の約数を意味していることが多いです。
そう思われるを防ぐために、（負の数を含む）と言っていると考えるのがいいですかね。
ただもともと約数は正の数も負の数もとっていいものみたいなんで、このセリフはなくてもいいような。
±がついているのも同じところから来る理由なので、どっちかがあればいいような気がしますが。
私のかすかな記憶では、私が高校生の時の教科書では
a0の約数/anの約数
の部分に絶対値がついていたような。

参考になれば幸いです。