ドレミファソラシの高さは何によって決まる？

質問

こんにちは。質問はタイトル通りです。以下、補足です。
　音楽は基本的にはドレミファソラシのどれかで構成されています。（例外にシャープやフラットなどがありますが）そして、その７つの音の高さは決まっていると学びました。ではその高さは何によって決まったのでしょうか？　例えばドとレの間にはたくさんの高さ（振動数とも言えます）の音がありえるのですが……。
　皆様の力をお貸しください。よろしくお願いします。

回答No.8

sanori · ベストアンサー

Ｎｏ．３の回答者です。
謝辞とたくさんのコメントをありがとうございました。

＞＞＞よく考えてみると「２」や「３」や「５」は全て「素数」ですね。

センスがいいですね。
ただ、２以外の素数同士の掛け算となると、その法則から外れます。
人間は２だけを「特別扱い」しますから。

＞＞＞と、なると「７」倍音や「１１」倍音はどうなるか興味が沸いてきます。

上記の通り、素数ではない９倍音も、独立的な音名になります。

表計算ソフトを使うのが簡単ですが、Ｇｏｏｇｌｅを電卓として使う手もあります。

ｘの半音階の音程　＝　底を２としたｘの対数　×　１２
　＝　底をｅとしたｘの対数　÷　底をｅとした２の対数　×　１２
　＝　１２ln（ｘ）／ln（２）

１倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&source=hp&q=12*ln%281%29%2Fln%282%29&lr=&aq=f&oq=
ドから０半音上なのでド。

３倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%283%29%2Fln%282%29&lr=&aq=f&oq=
ドから１９半音上（１オクターブ＋７半音）なので、ソ。

５倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%285%29%2Fln%282%29&lr=&aq=f&oq=
ドから２８半音ぐらい上（２オクターブ＋４半音）なので、ミ。

７倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%287%29%2Fln%282%29&lr=&aq=f&oq=
ドから３４半音ぐらい上（２オクターブ＋１０半音）なので、だいたいシ♭。

９倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%289%29%2Fln%282%29&lr=&aq=f&oq=
ドから３８半音上（３オクターブ＋２半音）なので、レ。

１１倍音
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=12*ln%2811%29%2Fln%282%29&lr=&aq=f&oq=
ドから４１半音か４２半音ぐらい上（３オクターブ＋５～６半音）なので、ファとファ＃の中間ぐらい。

ちなみに、
私はトランペットを吹いていたことがあり、比較的上手な方ではありましたが、
音程のコントロールができたのは９倍音までです。
なぜならば、上の音に行くほど倍音同士の間隔が狭いので、隣の倍音の音に外れやすくなるからです。
的の区切りが細かいダーツみたいなものです。
交響曲も、金管楽器に課している音程は、大概、９倍音までになっています。
「はぐれ刑事純情派」のテーマなんかを聴くと、それより上の音をコントロールしていますから、「すげー」と思ったりします。

それから、もう一つ別の話があります。

私を含め、回答者さん達のこれまでの説明は、全部、１つの音には１つの周波数が対応しているかのような説明に
なっていますが、実際は違います。

「１つの音に１つの周波数」は、あくまでも正弦波の場合だけです。
（身近な楽器で正弦波に近い音を出すものといえば、私はリコーダーではないかと思います。）
私達は同じ音程であっても、何の楽器の音なのか、何を叩いた音なのか、誰の声なのか、ということを聴覚で区別できます。
それはなぜかというと、
最初から、２倍音、３倍音、・・・が混ざっているからなのです！
（シンセサイザー、特にアナログシンセサイザーをいじったことがある人ならば、経験的に知っています。）
それが「音色」です。

すなわち、「音色」というのは「倍音の成分比」と言えるでしょう。
お醤油大さじ１杯、塩少々、みたいな感じですね。
数学の「フーリエ級数」で説明されます。
音のスペクトルがオシロスコープみたいなモニタに表示されるのを、
テレビなどでご覧になったことがあると思いますが、あれのことです。

また長文になってしまいました。
では、これにて。

お礼

こんばんは。
　何回も回答してくださり、ありがとうございました。楽器などは「２倍音」や「３倍音」なども混ざっているので、人間が区別できると分かりました。
　ＯＮＥ－ＳＴＥＰ様の補足がありがたかったのですが、この質問タイトルからでは求める回答は得られないと思うので、締め切らせていただきました。その点はＯＮＥ－ＳＴＥＰ様が新しく質問して頂けると幸いです。今まで長らく付き合って下さった皆様、本当にありがとうございました。
　３段落目のことをあなたのお礼内容として書いてすみませんでした。　
　とても参考になりました。

回答No.7

Tacosan

えぇと, 今では多くの場合 A4 = 440 Hz ですが, 実際には曲にも依存したりする... と思って調べたら wikipedia にいろいろ書かれてる. 一部の分野では C4 = 256 Hz とかいうのもあったような.
あと, 今の普通の音楽では 1オクターブに半音単位で 12音入れてますが, アラブの方だと 48音とか 60音とか, もっとたくさん入っている場合があるそうです.
なお, 「音律と音階の科学」という本では 12音平均律の代わりに 16音平均律とか 17音平均律を使うものも紹介されています.

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%B3%E9%AB%98

お礼

こんばんは。
　参考ＵＲＬの提示、ありがとうございます。色々と調べてみました。１オクターブに48音や60音入っていることもあるのは生まれて初めて聞きました。音楽の世界も奥が深いです。
　とても参考になりました。

回答No.6

Ishiwara

純正律の場合
ドの1.5倍の周波数（振動数）がソです。ソの1.5倍がレです。ですからドの2.25倍がレです。しかしこれは１オクターブ上のレですから、半分にして、1.125倍（つまり9/8倍）が一番近いレということになります。
周波数の比が数学的に簡単な分数で表されるほど、和音がきれいに響きます。レ以外の音階も、そういう観点で作られます。

平均律の場合
ドとド＃の間をｘ倍としましょう。上のドは２倍ですから、「ｘを12回掛け合わせた数」が２です。このｘは、約1.0595です。

さて平均律でドとレの間の倍率を調べると、1.0595の２乗＝1.122ですから、平均律のレは純正律のレよりも「僅かに低い」ことになります。

純正律は「和音が澄んでいる」のが特徴ですが、平均律は「１つの鍵盤で何調でも自由に弾ける」のが特徴です。現代人は「ほとんど平均律でガマンしている」といえましょう。

回答No.5

Ishiwara

純正律の場合
ドの1.5倍の周波数（振動数）がソです。ソの1.5倍がレです。ですからドの2.25倍がレです。しかしこれは１オクターブ上のレですから、半分にして、1.125倍（つまり9/8倍）が一番近いレということになります。
周波数の比が数学的に簡単な分数で表されるほど、和音がきれいに響きます。レ以外の音階も、そういう観点で作られます。

平均律の場合
ドとド＃の間をｘ倍としましょう。上のドは２倍ですから、「ｘを12回掛け合わせた数」が２です。このｘは、約1.0595です。

さて平均律でドとレの間の倍率を調べると、1.0595の２乗＝1.122ですから、平均律のレは純正律のレよりも「僅かに低い」ことになります。

純正律は「和音が澄んでいる」のが特徴ですが、平均律は「１つの鍵盤で何調でも自由に弾ける」のが特徴です。現代人は「ほとんど平均律でガマンしている」といえましょう。

お礼

こんばんは。
　丁寧な回答ありがとうございます。「純正律」と「平均律」の違いがよく分かりました。＜周波数の比が数学的に簡単な分数で表されるほど、和音がきれいに響きます＞のはなんとなく分かる気がします。「レ」に於ける純正律と平均律の違い「0.003」倍は人間の耳では区別が厳しい気がします。
　とても参考になりました。

回答No.4

ONE-STEP

回答になっていませんが、補足します。
みなさん詳しく解説されていて間違っていないのですが、
質問者のお聞きになりたいことを、正しく理解されていないのでは？
多分、質問の趣旨は、基音はどうやって決められたのか？だと。
単に基準としただけ、であれば、決まるまでの敬意や歴史とか。
時代によって変遷があるかと思いますが、詳しくないので、他の方の
回答を待ちます。何ヘルツなんて測定できない昔のピッチをどのように
研究されているのか興味があります。

お礼

こんにちは。
　わざわざ補足してくださりありがとうございます。説明不足でした。あなたの書かれたとおり、「基音」の決めるまでの敬意や歴史などが知りたいと思っております。
　また、あなたの書かれたとおり「今」は音の高さは決まっていますが「中世ヨーロッパ」などでは音の高さは実は曖昧だった気がします。例えばベートーベンが書いた楽譜と現代の楽譜は基音が違う気がします。もし違っていた場合、当時の楽譜通りに演奏したら原曲とはやや違う曲になってしまいそうです。また、「ベートーベン」「リスト」「シューベルト」「ショパン」「モーツァルト」「チャイコフスキー」など、時代と出身国が違う場合には楽譜記号も違っているはずです。と、すると彼らの創った曲を再現するのは困難かと考えております。
　以下は参考にして下さい。
　例えばバイオリンを弾く場合に音の高さは楽器によって違います。口笛や歌でも２０～２００００ヘルツ（可聴音）の大体の音を出すことが出来ます。他方ピアノは調律すれば可聴音としてたくさんの曲を聴くことが出来るでしょう。しかし調律しないとどうしても「飛び飛び」の音になってしまいます。「調律」自体も歴史によって違うかと思います。
　とても参考になりました。

回答No.3

sanori

こんばんは。

一言で言えば、「ドとソをハモらせるため」です。

まず、人間の聴覚（脳も含む）には、ある１つの音に対して２の整数乗倍の音（２倍音、４倍音、８倍音、１６倍音、・・・）が、
高さは違えど「同じ音」に聞こえるという、極めて不思議な性質があります。
そこで、
周波数が２倍、４倍・・・になる毎に「オクターブ上」、
１／２、１／４、１／８・・・になる毎に「オクターブ下」
というふうに、決めました。
ここまでが第一段階です。

２倍音と来れば、次は３倍音、６倍音、１２倍音・・・です。
これが「ソ」です。
これが第二段階です。

「ド」の周波数をｆと置けば、
１オクターブ上のドの周波数は、２ｆ
２オクターブ上のドの周波数は、４ｆ
３オクターブ上のドの周波数は、８ｆ
４オクターブ上のドの周波数は、１６ｆ
・・・・・
といった具合です。

これを、底を２とした対数で表せば、
１倍音　logｆ
２倍音　log（２ｆ）　＝　logｆ　＋　log２　＝　logｆ　＋　１
４倍音　log（４ｆ）　＝　logｆ　＋　log４　＝　logｆ　＋　２
８倍音　log（８ｆ）　＝　logｆ　＋　log８　＝　logｆ　＋　３
１６倍音　log（１６ｆ）　＝　logｆ　＋　log１６　＝　logｆ　＋　４
となりますから、
等間隔（間隔は１）です。

そして、物理的に、３倍音、６倍音、・・・　もハモります。
これを、底を２とした対数で表せば、

log（３ｆ）　＝　logｆ　＋　log３　＝　logｆ　＋　1.5849625
　＝　logｆ　＋　１　＋　0.5849625

log（６ｆ）　＝　logｆ　＋　log６　＝　logｆ　＋　log２　＋　log３
　＝　logｆ　＋　１　＋　1.5849625　＝　logｆ　＋　１　＋　１　＋　0.5849625
　＝　logｆ　＋　２　＋　0.5849625

ここで、0.5849625　という数にある整数をかけた結果が、なるべく整数に近くなるケースを探します。
試行錯誤です。
0.5849625　×　１　＝　0.5849625
0.5849625　×　２　＝　1.169925
0.5849625　×　３　＝　1.7548875
0.5849625　×　４　＝　2.33985
0.5849625　×　５　＝　2.9248125
0.5849625　×　６　＝　3.509775
0.5849625　×　７　＝　4.0947375
0.5849625　×　８　＝　4.6797
0.5849625　×　９　＝　5.2646625
0.5849625　×　１０　＝　5.849625
0.5849625　×　１１　＝　6.4345875
0.5849625　×　１２　＝　7.01955　　←注目！！！
0.5849625　×　１３　＝　7.6045125
0.5849625　×　１４　＝　8.189475
0.5849625　×　１５　＝　8.7744375
・・・・・

というわけで、
３倍音、６倍音、１２倍音・・・に近い音を表すには、
１オクターブを１２倍に引き伸ばせば、
つまり、逆に言えば、１オクターブを１２分割すれば、
ドの音から（半音で）７つ上がったところの音が、ちょうど３倍音ぐらいの周波数になるということがわかりました。

ドの音から（半音で）７つ上がったところの音というのは、「ソ」です。

というわけで第三段階ですが、
ドに対してソがハモるということは、
ドミソに対して７半音ずれたソシレがハモる、ということでもあります。
逆に、ドミソがハモるのは、７半音下のファラドである、ということでもあります。
ドミソ、ソシレ、ファラド　の３和音に入っている音を全部書き出すと、
ドレミファソラシドになります。
かくして、ピアノの白鍵はドレミファソラシドになりました。

余談ですが、
次に考えるべきは、５倍音、１０倍音、２０倍音・・・です。
これは、「ミ」と「ミ♭」の間の音です。
ド・ミ・ソ（メジャー）も、ド・ミ♭・ソ（マイナー）もハモって聞こえるのは、そのためではないかと推測します。

トランペットなどの金管楽器では、指でピストンを押さえることなく、
進軍ラッパの要領で唇の調整だけで色々な音が出せますが、
それらの音は下から順に、ド、ド、ほぼソ、ド、ミとミ♭の間の音、ほぼソ、ほぼシ♭、ド・・・となります。
すなわち、
ぴったり１倍音（ド）、ぴったり２倍音（ド）、ぴったり３倍音（ほぼソ）、
ぴったり４倍音（ド）、ぴったり５倍音（ミとミ♭の間）、ぴったり６倍音（ほぼソ）、
ぴったり７倍音（ほぼシ♭）、ぴったり８倍音（ド）、・・・
です。

最後に、

＞＞＞音楽は基本的にはドレミファソラシのどれかで構成されています。

それは、あまり正しくありません。
一例を挙げますと、能の笛のメロディーは十二音律では書けません。
アフリカ（？）辺りでも、十二音律に従わない音楽があります。
坂本龍一はそういうのが結構好きらしいです。

お礼

こんにちは。
　夜分遅くの回答、誠にありがとうございます。あなたの回答には感動しました。その様な決め方をしていたのですか。びっくりしました。人間は２の整倍音を「同じ音に聞こえる」というのにはびっくりしました。確かに、１オクターブ下げた音も同じように聞こえます。また、歌う際にも１オクターブ上げても不自然には感じません。人間は不思議です。２倍音、３倍音、５倍音と考えて行くのには驚きました。でも、よく考えてみると「２」や「３」や「５」は全て「素数」ですね。と、言うことは「素数」を基礎にして現代音楽が構成されていると解釈しても良いのかもしれません。と、なると「７」倍音や「１１」倍音はどうなるか興味が沸いてきます。
　ちなみに……「log●○」というのは「●を何乗すると○になるか」を示しています。●の部分の数を「底」と言います。●は小さな数で書きます。○と区別がつかなくなるので。ちなみに●にはしばしば「e」が使われます。何故かはよく分かりませんが。その点は私の勉強不足です。
　とても参考になりました。

回答No.2

dipearl

音の高さの決まり（音律）には、さまざまな種類があります。おおざっぱに言えば、オクターブを12等分した周波数の付近であれば、「ドレミファソラシド」および臨時記号を付けた音に聞こえます。＃１の方が示されているピタゴラス音律もそのなかの一つで、「だいたい」オクターブを12等分した音になります。

一方、数学的に完全に12等分したものは「平均律」といい、ピアノやギターで使用されています。これは、ある音に「12乗根2」（約1.0595）を乗じたものが半音上の音になっています。

現在、国際的にA＝440と決められていますが、べつに441や442、あるいは440.001とかでも、それを基準に他の音も移動すればちゃんと音階になります。

お礼

こんにちは。
　「ピタゴラス音律」や「ピタゴラス音律」や「平均律」については成る程と分かりました。
　補足ですが、１２乗根２というのは１２乗して２になる数ですね。高校数学で学びました。
　音階は実はある意味では曖昧だと分かりました。
　とても参考になりました。

回答No.1

rabbit_cat

「ドの周波数を２倍すると、１オクターブ上のドになります。」っていう話はご存知ですかね。それと同じように、

・ドの周波数を１．５倍すると、ソになります。
・ソの周波数を１．５倍すると、上のレになります。
・レの周波数を１．５倍すると、ラになります。
・ラの周波数を１．５倍すると、上のミになります。
・ミの周波数を１．５倍すると、シになります。
・シの周波数を１．５倍すると、上のファ♯になります。
・ファ♯の周波数を１．５倍すると、上のド♯になります。
・ド♯の周波数を１．５倍すると、ソ♯になります。
・ソ♯の周波数を１．５倍すると、上のレ♯になります。
・レ♯の周波数を１．５倍すると、ラ♯になります。
・ラ♯の周波数を１．５倍すると、上のファになります。
・ファの周波数を１．５倍すると、上のドになります。（ドに戻った）
ってことで、周波数を１．５倍するのを１２回繰り返すとドに戻ってくるんです。厳密にはぴったりドになるわけではないんですが、ほぼドに相当する周波数になります。

数学的に言えば、　
(1.5)^12 = 129.746338　≒ 128 = (2^7)
ってことです。

ちなみに上に書いたようして１オクターブを１２個の音に分割するやりかたを、「ピタゴラス音律」といいます。あの三平方の定理（ピタゴラスの定理）のピタゴラスさんですね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E9%9F%B3%E5%BE%8B

お礼

こんにちは。
　ドの周波数を２倍にするということは「単位：ヘルツ」言い換えれば「音の振動数」を２倍にするということですね。ドの周波数を２倍にすると、再びドと人間が感じることが出来るのは物理や音楽系の本で読みました。
　音の名前は「ドレミファソラシ」だけでなく、「●♯」という名前があるのは知りませんでした。ありがとうございます。
　＜(1.5)^12 = 129.746338　≒ 128 = (2^7)＞は「1.5を12回かけると129.746338になる。そしてその数値は2を7回かけた結果の128とほぼ同じ」と解釈しました。
　とても参考になりました。