∫０から１ｘｄｘの計算方法（積分）

質問

次のような式があり、積分されているのですが、
∫０から１ｘｄｘ＝[１／２ｘ＾２]０から１＝１／２

∫０から１ｘｄｘ⇒[１／２ｘ＾２]０から１にする計算方法が分かりません。なぜ１／２？？
基礎中の基礎だと思いますがご回答お願いします。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

定積分は、不定積分に積分区間の両端を代入したもの、
不定積分は、微分の逆操作ですから、

質問の内容は、
(d/dx)(1/2)x~2 = x の左辺の係数 1/2 は
どこから来たのか？ということですね。
これは、
(d/dx)x~2 = 2x の右辺の係数 2 から来たのです。

では、その 2 はどこから来たのかというと…

x~2 を、微分係数の定義に従って微分するとき、
( (x+h)~2 - x~2 )/h の式を h→0 で極限します。
この式は、= 2x+h ですから、→ 2x となります。
ここで、2x の 2 が現れました。
2 は、(x+h)~2 の括弧を展開した際の
h について 1 次の項の係数 2C1 だったのです。

一般に、
(d/dx)x~n = nx~(n-1) の n も同様です。

お礼

ご回答ありがとうございました！参考にさせていただきます＾＾

回答No.3

YQS02511

∫0→1(x)dx=[(1/2)x^2]0→1=1/2

xを積分すると(1/2)x^2 です。逆の演算で、微分するとxになり
ますよね。
　で、0→1までということで、1を代入した値から0を代入した値
を引き算します。
　(1/2)×1^2-(1/2)×0^2=1/2

ちなみに、図形的には，直線y=xとx軸の原点0から直線x=1まで
で囲まれた図形の面積になっています。
　つまり1辺1である直角三角形の面積を求めたことになります。

お礼

ご回答ありがとうございました！参考にさせていただきます＾＾

回答No.1

sanori

こんにちは。

（ｘ）’＝　１
（ｘ^2）’＝　２ｘ
（ｘ^3）’＝　３ｘ^2
（ｘ^4）’＝　４ｘ^3
ここまでは大丈夫ですか？

引き算が足し算の逆であることと同様、
積分は微分の逆なので、
∫１ｄｘ　＝　ｘ　＋　何かの定数
∫２ｘｄｘ　＝　ｘ^2　＋　何かの定数
∫３ｘ^2ｄｘ　＝　ｘ^3　＋　何かの定数
∫４ｘ^3ｄｘ　＝　ｘ^4　＋　何かの定数
です。

∫の後ろにある定数の掛け算は∫の前からかけてもよいので、
∫ｄｘ　＝　ｘ　＋　何かの定数
２∫ｘｄｘ　＝　ｘ^2　＋　何かの定数
３∫ｘ^2ｄｘ　＝　ｘ^3　＋　何かの定数
４∫ｘ^3ｄｘ　＝　ｘ^4　＋　何かの定数
です。

ということは、
∫ｄｘ　＝　ｘ　＋　何かの定数
∫ｘｄｘ　＝　ｘ^2／２　＋　何かの定数　　・・・（あ）
∫ｘ^2ｄｘ　＝　ｘ^3／３　＋　何かの定数
∫ｘ^3ｄｘ　＝　ｘ^4／４　＋　何かの定数
です。

（あ）の式を用いて、
∫ｘｄｘ　＝　ｘ^2／２　＋　Ｃ
∫[x=0⇒1]ｘｄｘ　＝　（１^2／２　＋　Ｃ）　－　（０^2／２　＋　Ｃ）
　＝　１／２

お礼

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