積分方法

質問

積分の解き方が解らなくなってしまったので、援助お願いしますm(_ _)m
積分の問題で「x/(x^2+1)」を説いてたのですが、教科書などではいきなり答えに飛んで途中式が解りません。
途中式は後で他の問題でも応用できるように細かく書いていただけると助かります。

問題　「∫x/(x^2+1)dx」
途中式
∫x/(x^2+1)dx
=∫1/(x^2+1)dx*∫xdx？
=log(x^2+1)*1/2(x^2)？

答えは「1/2(log(x^2+1))」だそうです。

よろしくお願い強います。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

xが分子にありますが
(x^2)'=2x
であることに気がつけば積分が簡単に出来る。
と言うことを覚えておいて下さい。

>∫x/(x^2+1)dx
=(1/2)∫(x^2)'/(x^2+1)dx
=(1/2)log(x^2+1) +C
と簡単に積分出来てしまいますね。

>答えは「1/2(log(x^2+1))」だそうです。
積分定数Cを付け忘れの答です。Cをつけないと減点されるかも？

一般に
F(x)=∫f(x)dxの時
∫xf(x^2)dx=(1/2)∫(x^2)'f(x^2)dx=(1/2)F(x^2)+C
と積分できます。公式みたいなことですから
覚えておいて下さい。

お礼

回答ありがとうございます！
何となくですが解ってきた気がします。

1/2というのは、分子の付け足しをうまく消すためにある物だと思っていろいろと訓練してみます！

回答No.3

zenigataf

分子が分母の微分の形のタイプは以下のようになります

∫(f'(x)/f(x))=log|f(x)|

後は係数を調整するために2で割ったりしましょう。

回答No.2

e_o_m

途中式の2行目から違います。

方法は二つ
・x^2+1=tとおいて置換積分
xdx=1/2dtだから
∫x/(x^2+1)dx=1/2∫1/t dt=
=1/2 logt
=1/2 log(x^2+1)

・x=1/2 (d/dx)(x^2+1)　だから
(d/dx)logf(x)=(df(x)/dx)/f(x)　というlogの微分を思い出せば
∫x/(x^2+1)dx=1/2 ∫(d/dx)(x^2+1)/(x^2+1) dx
　　　　　　 =1/2 ∫(d/dx)(log(x^2+1)) dx
=1/2 log(x^2+1)

慣れてきたら下の方法で積分出来るようにしましょう。

お礼

うーん、、と行った感じです。
もう少しこの問題でなれるまで解いてみようと思います。

わざわざ２パターンの解放ありがとうございます！
もう少し積分を訓練してみます。

回答No.1

Tacosan

安全路線でいくなら x^2+1 = t とでも置いてから置換積分.
結果を見ると分かるけど実は直接積分も可能.

補足

その方法も試してみたりはしたのですが、分数の積分は初めてなので手順が解らず答えにはなりませんでした・・・

t=x^2+1
∫(x(t-1))/tdx
dx=2xdt

？
ここからどうすべきなのか解らずに止まっています。
何か決まり事があると思うのですが調べてもいきなり1/2が出てきたりしてて把握できませんでした。
途中からどのようにすれば答えがでるのでしょうか？