∫log3xdx の解き方

質問

∫log3xdxの不定積分を求める問題なのですが、
式・答えがどうしても分かりません。
どなたか、式を詳しくご教授お願いできませんでしょうか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1です。
log_[3] x =log_[e] x /log_e 3
ですから
A=1/log_e 3とおけば, logを以降自然対数として
∫log_[3] x dx=A∫log(x)dx
と単なる自然対数の不定積分になります。
この積分は#3さんがA#3で書いておられるように
部分積分で積分する方法が、どこの参考書でも載っている方法です。
つまり、
∫log(x)dx=∫1*log(x)dx
=x*log(x)-∫x*(log(x))' dx
=x*log(x)-∫x*(1/x)dx
=x*log(x)-∫1 dx
=xlog(x)-x+Co　（Coは積分定数)
=x{log(x)-1}+Co
=x{log(x)-log(e)}+Co
=x log(x/e) +Co
(eは自然対数の底、ネイピア数）
従って、Aを掛けて,
積分定数は新たにCと置き換えて
∫log_[3] x dx=A∫log(x)dx
=(x*log(x/e)/log_[e](3)+C
=x log_[3](x/e) +C
(eは自然対数の底、ネイピア数）
となります。

なお
結果は、(積分定数を除いて)A#3の結果にも等しく、
また
=x log_[3](x)-x log_[3](e) +C
とも書けます。

お礼

参考書を見ても、途中式の省略が多かったため、
理解できませんでしたが、お陰様でようやく理解できました。
ご丁寧な説明、本当にありがとうございました。
#2、#3の方も、ありがとうございます。

回答No.3

oobdoo

積分定数は略します。

底の変換公式より、
log_[3]x=log_[e]x/log_[e]3
なので、
∫log_[3]xdx=∫(log_[e]x/log_[e]3)dx=(∫log_[e]xdx)/log_[e]3
です。

∫log_[e]xdxは部分積分を用いて、
∫log_[e]xdx=x*log_[e]x-∫x*(1/x)dx=x*log_[e]x-∫dx=x*log_[e]x-x
と求められますので、

∫log_[3]xdx=(x*log_[e]x-x)/log_[e]3=x*log_[3]x-(x/log_[e]3)
となります。

回答No.2

spring135

logxをeを底とする対数（自然対数）とすると、部分積分を活用して
　∫logxdx=xlogx-x+C (Cは積分定数）
です。問題は底を3からeに変換しておく必要があります。

回答No.1

info22

被積分関数の対数について
>log3x
の対数の底が何で、真数が何か、この書き方では分かりません。
log_[3] x (底が3で真数がx)
log_[e] (3x) (底がeで真数が3x)
のどちらですか？

お礼

不備があったようで、申し訳ありません。
log_[3] x (底が3で真数がx)の方です。
なにとぞ、よろしくお願い致します。