∫x^xdx

質問

∫x^xdx　
エックスのエックス乗の積分を教えてください。

ちなみに高校生です

回答No.6

student_of_kit

補足です。Javaで計算させた法が早いです。

class Sample{
public static void main(String[] args){
double sum;
for(double x = 0.0; x < 10000000.0; x+=0.0001){
sum += Math.pow(x,x)
}
System.out.println(sum);
}

回答No.5

info22

#3,#4です。
A#4の収束性の良い無限級数展開を補足しておきます。

>高校数学の範囲外でもかまわないので、この不定積分の解方を教えて頂けますか？

大学レベルです。（理解できなければ諦めて下さい。）
taylor展開を応用して導出したものです。
x^xと展開級数をn項で打ち切ってnをパラメータにプロットしてもらえれば
収束性がいいことが分かります。

x^x=1+xlog(x)+(1/2!)(xlogx)^2+(1/3!)(xlog(x))^3+ (1/4!)(xlogx)^4+O((xlogx)^5)

これを積分すれば、Cを積分定数として
∫x^xdx=C+x-(1-2logx)(x/2)^2+(1-3logx)(x/3)^3-(1-4logx)(x/2)^4+ ...
=C+x+Σ[n=2,∞]{(-1)^(n-1)}(1-nlogx)(x/n)^n
となります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.4

info22

#3です。
A#3の補足の質問について

>高校数学の範囲外でもかまわないので、この不定積分の解方を教えて頂けますか？

A#3の最後の3行の参考サイトにアクセスしてみましたか？
そこでは
x^xをx=0の周りでテーラー展開（マクローリン展開）して無限級数展開の式で表し、それを項別に不定積分することで全体の不定積分を計算した式を得ています。
x^7　以上のべきの余剰項をO(x^7)で表し、最後に積分定数Cを加えています。

テーラー展開（マクローリン展開）は習いましたか？
習っているなら、x^xをマクローリン展開して、各項ごとに不定積分して加えるだけです。
そうすればA#3の参考URLの不定積分結果が得られます。

習っていないなら、諦めるか、テーラー展開（マクローリン展開）を勉強して習得してから、x^xを展開する所からやってみてください。

回答No.3

info22

高校の数学では問題の不定積分は積分できない（初等関数で表現できない）。
とするのが正解です。

定積分の場合は、数値積分（シンプソン法、ガウス=ルジャンドル積分法、その他）を使えば積分値の近似値が求められるという意味では積分可能でしょう。なお、積分の厳密値（理論値）は初等関数で表現することはできません。
参考)
x^xのx=0～1の範囲の数値積分
∫[0,1]x^xdx≒0.783431
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28x%5Ex%2Cx%2C0%2C1%29

高校の数学レベルを終えますが
たとえばx^xを無限級数展開して、xのべき乗の無限級数に展開した式を有限項数で打ち切って近似し、有限項数の多項式を積分すれば、積分値の近似値が得られます。
ただ、x(>0)の絶対値が大きくなるとx^xの無限級数展開を有限項で打ち切った場合は収束性が悪くなります。

従って、単なるxのべき乗の無限級数展開より収束性のよい無限級数展開を見つけて、それを有限項で打ち切って数値積分すればより少ない項で、より精度の高い近似値が得られます。

参考）
x^xの不定積分の無限級数表現
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28x%5Ex%2Cx%29

補足

詳しい回答ありがとうございます。

高校数学の範囲外でもかまわないので、この不定積分の解方を教えて頂けますか？

回答No.2

ItachiMasamune

No.1です。書き忘れましたが、参考URLに積分不可能と書いてありますが、ウソです。
積分可能ですが、計算できないってだけです。

回答No.1

ItachiMasamune

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4053089.html
計算できません。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4053089.html