∫(2x+1)e^-xdxの不定積分がわかりません

質問

∫(2x+1)e^-xdxの不定積分がわかりません
どなたかお願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1さんがやられているようなやり方で部分積分すればいいですが、計算ミスがあるようですのでやってみます。

∫(2x+1)e^(-x)dx
=(2x+1)∫e^(-x)dx-∫(2x+1)'*{∫[t=x]e^(-t)dt}dx
=-(2x+1)e^(-x)-∫2{-e^(-x)}dx
=-(2x+1)e^(-x)-2e^(-x)+C
=-(2x+3)e^(-x) +C　（Cは任意の積分定数）

検算）出てきた積分を微分して被積分関数に戻れば良いですね。
{-(2x+3)e^(-x) +C}'
=-2e^(-x)+(2x+3)e^(-x)
=(2x+1)e^(-x)
となり被積分関数に一致しますので積分結果が正しいことが確認できました。

お礼

詳しい説明ありがとうございます

回答No.3

sanori

おっと
またミスをやらかしました。最近、多いです。
info22さんのアシストに感謝。
（もちろん、ベストアンサーはinfo22さんへ）

回答No.1

sanori

こんにちは。
ｅ^x の形の前に微分が簡単なもの（この場合は２ｘ＋１）が
掛け算されている形なので、部分積分です。

Ｆ’＝ｆ
Ｇ’＝ｇ
Ｆ　＝　２ｘ＋１
ｇ　＝　ｅ^(-x)
と置いてみると、
ｆ　＝　２
Ｇ　＝　－ｅ^(-x)

よって、
∫（２ｘ＋１）ｅ^(-x)ｄｘ　＝　∫Ｆｇｄｘ
　＝　ＦＧ　－　∫ｆＧｄｘ
　＝　（２ｘ＋１）・（－ｅ^(-x)）　－　∫２ｅ^(-x)ｄｘ
　＝　－（２ｘ＋１）ｅ^(-x)　－　２∫ｅ^(-x)ｄｘ
　＝　（－２ｘ－１）ｅ^(-x)　＋　２ｅ^(-x)　＋　Ｃ
　＝　（－２ｘ＋１）ｅ^(-x)　＋　Ｃ