数学の証明問題

質問

外心・垂心は鈍角三角形では三角形の内部、鋭角三角形では三角形の外部、直角三角形では三角形の周上にあることを証明せよ。

この問題を解ける、兵いらっしゃいますか？？

回答No.3

debut · ベストアンサー

鈍角三角形では三角形の「外部」、鋭角三角形では三角形の「内部」
と考えて。

外心
△ＡＢＣ の外心をＯとする。
１．∠Ａが鈍角の鈍角三角形
　円周角の定理より、∠Ａ＞90°なので、中心角∠ＢＯ Ｃ ＞180°
　よって、点Ａを含む方の弧ＢＣの長さ＜点Ａを含まない方の弧ＢＣ
　となるので、点Ｏは△ＡＢＣ の外部にある。
２．∠Ａ＝90°の直角三角形
　円周角の定理より、∠ＢＯ Ｃ ＝180°。つまり、点Ｏは辺ＢＣ 上
　にある。
３．鋭角三角形
　円周角の定理より、∠Ａ＜90°なので、中心角∠ＢＯ Ｃ ＜180°
　よって、点Ａを含む方の弧ＢＣ の長さ＞点Ａを含まない方の弧ＢＣ
　となるので、点Ｏは△ＡＢＣ の内部にある。

垂心
１．∠Ａが鈍角の鈍角三角形
　点Ｂから直線ＡＣ に垂線ＢＰを引いたとき、Ｐが線分ＡＣ 上に
　あるとすれば、∠ＢＰＣ ＝∠ＢＡＰ＋∠ＡＢＰ＞∠ＢＡＰ、
　つまり、∠ＢＰＣ ＞90°となるので、垂線ＢＰであることに矛盾
　よって、垂線ＢＰは△ＡＢＣ の外部にあり、同様に、Ｃ から直線
　ＡＢに引いた垂線も△ＡＢＣ の外部にあり、これらの交点である
　垂心は△ＡＢＣ の外部にある。
２．∠Ａ＝90°の直角三角形
　点Ａが垂心であるのは明らか。よって、垂心は△ＡＢＣ の周上に
　ある。
３．鋭角三角形
　点Ａから直線ＢＣ に垂線ＡＰを引く。
　点Ｐが線分ＢＣ の外にあるとすれば、
　∠ＡＰＢ＜∠ＡＢＣ ＜90°、または、∠ＡＰＣ ＜∠ＡＣ Ｂ＜90°
　となるので、垂線ＡＰに矛盾する。よって、点Ｐは線分ＢＣ上に
　あり、垂線ＡＰは△ＡＢＣ の内部にある。
　同様に、Ｂから直線ＡＣ に垂線ＢＱを引けば、点Ｑは線分ＡＣ 上
　にあり、垂線ＢＱは△ＡＢＣ の内部にある。
　ＢＡは線分ＡＰとＡで交わり、ＢＣ は線分ＡＰとＰで交わるので
　線分ＡＣ 上にある点ＱとＢを結んだＢＱは線分ＡＰと１点で交わる。
　この交点(線分ＡＰ上の点)が垂心なので、垂心は△ＡＢＣ の内部
　にある。

という説明ではどうでしょうか。

回答No.2

banakona

「鈍角」と「鋭角」が逆。いや「内部」と「外部」が逆なのか。

補足

逆じゃないですよ！！！

回答No.1

Tacosan

いや, それは誰にも無理でしょ.

補足

証明じゃなくてもいいんでなんでこうなるのかとかも無理ですか？？