チェバの定理を用いて三角形の五心の存在を証明

質問

チェバの定理（の逆）を用いて、三角形の内心、重心、垂心、外心のそれぞれが存在することを証明して欲しいのですが、どうやったらいいのでしょうか。

チェバの定理では、五心の全ての存在を示すことができないのであれば、できる限りのところでいいので教えて下さい。お願いします。

回答No.1

momordica · ベストアンサー

例えば、一番簡単な重心から行くと、

△ABCにおいて、AB, BCの中点をそれぞれD, Eとし、CDとAEの交点をG、BGと直線の交点をFとすると、
チェバの定理より、
　(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1
仮定より　AD=DB, BE=EC であるから、
　CF/FA=1　　∴　CF=FA
よって、FはCAの中点であるので、3つの中線は一点Gで交わることが示される。
すなわち、Gは△ABCの重心である。

とまあ、こんな感じです。
これが例えば内心であれば、Dは∠Cの二等分線とABの交点なので、DはABをCA：BCに内分する点
と置けばいいですし、ほかの外心、垂心、傍心であっても
似たような置き方から、証明していくことは可能だと思います。

しかし、直角三角形の外心と垂心、及び、二等辺三角形の傍心のうち2つの等辺の傍にあるもの
については、この点から三角形の３頂点に直線を引いてもチェバの定理が成り立つ形にならないので、
少なくともこれらの場合については、チェバの定理からの証明は無理ではないかと思います。

お礼

ありがとうございました。
参考になりました。