1/(sinx)^2の定積分

質問

1/(sinx)^2の定積分についての質問です。
これのxが(π/4)→(π/2)まで動くときの定積分なんですが、どのようにすれば求まるのかヒントをお願いします。
(sinx)^2=1-2cos2xを使ったのですが、行き詰ってしまったので、ヒントをお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

技巧的ですがうまい方法
{cos(x)/sin(x)}'={-sin(x)sin(x)-cos(x)cos(x)}/{sin(x)}^2
=-1/{sin(x)}^2
なので

∫[π/4→π/2] dx/{sin(x)}^2=[-cos(x)/sin(x)](x=π/4→π/2)
=cot(π/4)-cot(π/2)=1-0=1

お礼

ありがとうございます。
おかげで解決しました。

回答No.3

alice_38

要するに、公式暗記なんやろね。

回答No.2

Tacosan

技巧的というか常套手段というか＞#1.
(tan x)' = sec^2 x (= 1/cos^2 x) = 1 + tan^2 x
はよく知られているわけですが, これと同様に
cot x = 1/tan x
の微分から cosec^2 x = 1/sin^2 x が出てきます.
ちなみにどうしようもないときの最終手段は
t = tan (x/2)
とおく.