定積分∫X^3 の質問です。

質問

∫∞（上）-∞(下）X^3dx の解き方がわかりません。
定積分なのですが、わかる方、ヒントでもいいのでよろしくお願いします!!

回答No.2

R_Earl

ANo.1の方のお答えは「コーシーの主値」というもので、
∫[-∞ → ∞]x^3dxの解とは呼べないと思います。

これは積分不可能です。
∫[-∞ → ∞]x^3dxを計算する際は、
まず∫[b → a]x^3dxを考えます。
そしてその上でa → ∞, b → -∞を考えます。

まず∫[b → a]x^3dx = (1/4)(a^4 - b^4)となります。
(1/4)(a^4 - b^4)においてa → ∞、b → -∞を考えると
(1/4)(∞ - ∞)となります。よって不定形です。
aの∞へいくスピードが速ければ、(1/4)(a^4 - b^4)は+∞に近づくかもしれませんし、
bの-∞へいくスピードが速ければ、(1/4)(a^4 - b^4)は-∞に近づくかもしれません。
a, bが無限大へ向かうスピードによって値が変わってしまうので、この積分は収束しません。

奇関数の性質
∫[-a → a]f(x)dx = 0　（f(x)は奇関数）
は使えません。
なぜなら今回考えている∫[-∞ → ∞]x^3dxという積分は
lim[a → ∞, b → -∞]∫[b → a]x^3dxという形だからです。
lim[a → ∞]∫[-a → a]x^3dxではないんです。

お礼

そうなんですか・・・わかりました!!
分かりやすい解答ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

被積分関数が奇関数であり、積分区間がｘ＝０に対して対称であることを利用します。

http://www.cfv21.com/math/evenoddint.htm

　被積分関数を f(x)＝x^3 とすると、　f(-x)＝-f(x)　となるので、奇関数です。
　また、積分区間はｘ＝０に対して対称です。

　∴　Ｉ＝∫[-∞→+∞] x^3 dx＝０

お礼

回答ありがとうございます！
とっても助かりました!