数学IIIＣ、定積分の問題です。

質問

(1)xの値に関わらず定積分 ∫[-1→1](|t-sinx|+|t-cosx|)dt の値は一定であることを示せ。

(2)xがすべての実数値をとるとき、定積分 ∫[-1→1](|t-sinx|cosx+|t-cosx|)dt の最大値・最小値を求めよ。

わからないのは(2)です。
(1)を使いそうな気がしますが全然わかりません・・・。
至急詳しく教えて頂きたいです。よろしくお願いしますm(._.)m。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

（１）∫｜ｔ－ｓｉｎｘ｜ｄｔ　と　∫｜ｔ－ｃｏｓｘ｜ｄｔ　にわけ、さらに積分区間を
前者：－１からｓｉｎｘ　と　ｓｉｎｘから１
後者：－１からｃｏｓｘ　と　ｃｏｓｘから１
に分けてやると絶対値が外れるのであとは単なる積分の計算です。結果としてｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ、および定数からなる多項式になり、三角関数の関係から定数になるのではないでしょうか。

（２）
（１）で得られた多項式を使うと（２）の式はやはりｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ、および定数からなる多項式になるのでｃｏｓｘだけ（ｓｉｎｘだけでもいいですが）を含むように書き換え、ｃｏｓｘ＝ｔとでもおいてｔの多項式にします。あとはー１＜＝ｔ＜＝１における増減表を作ればいいと思います。

お礼

詳しい手順、ありがとうございます。
(1)をどのように使えばいいのでしょうか？
また自分でやってみます。
回答ありがとうございました(^O^)

回答No.1

kaju_kaju

とても面白い問題ですね。
(1)でも結構な計算量で、さらに(2)は思いつかないと、どつぼにはまりそうな問題ですね。

(2)は(1)と同様な考えでもできると思いますが、計算がとても面倒になるので

参考になれば幸いです。

お礼

ドツボにはまりますよね・・。
お手数をかけて申し訳ありませんでした。