電磁気学の問題で

質問

以下の問題が分かりません。

どなたか回答をよろしくお願いします。

質量Mの丈夫で細い絶縁性リングが均一にqだけ帯電している。
A点付近に、リングの半径に比例すると充分小さい、大きさｌの間隙がある。
リングを水平に配置し、リングの中心Oを通過する垂直軸は自由に回転する。
OAに垂直に水平な一様電場Eをかけると、最初静止していたリングが回転する。
リングの円周の回転の最大速度を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831

次のような流れでいかがでしょうか？

図のような角度のとき，lの間隙に他と同じ密度で電荷があるとすると，対称性から全体が受けるトルクはゼロになります。すなわち，間隙がある場合のリングが受けるトルクは，lに仮想した電荷が受けるトルクに等しく逆向きで，

τ(θ) = l/(2πr - l)・qErcosθ = l/(2π - l/r)・qEcosθ ≒ qElcosθ/(2π)

となると思います。ただし，rはリングの半径です。

リングの慣性モーメント I ≒ Mr^2 を用いて，リングの回転の運動方程式は

Iθ'' = τ(θ)　　※「'」は時間による1階微分，「''」は2階微分です。

これをエネルギー積分すると，最大速度 rθ'max を得ます。