力学の問題です。

質問

垂直に置かれた半径Rの円周上を半径rの球が滑ることなく転がる場合
を考える。
球が円周上を落ちることなく１回転するための球の最下点での速度Vを
求めよ。ただし重力加速度はgとする。

という問題なのですが、質量が与えられておらず、
どのように解けばいいのか分かりません。
教科書にもこのような問題はありませんでした。
できれば詳しく教えて頂けると有難いです。
お願い致します。

回答No.7

htms42

＃４です。

全く見当違いでしたね。
横に寝ている円筒内部を回る場合ですね。
ループコースターと書かれていますからイメージが取れました。
「円周上」ではなくて「円周内面に沿って」一周するということですね。
わたしが書いたものも、この場合のものもよくある問題です。ただ普通は質点として考えている場合がほとんどですから半径ｒの剛体というところが違う所です。
＃４は撤回します。

滑らずに転がるという条件　ＲΩ＝ｒω　は意識する必要があります。
位置エネルギーの変化や向心力の表現ではＲ－ｒになりますので食い違いに混乱しないようにする必要があります。
慣性モーメントは重心周りのものというところでも混乱されているようです。

回答No.6

yokkun831

たびたびすみません。
＃４さんのおっしゃっていることを理解しました。円周の
外側をてっぺんから転がるという場面と見られたわけですね！
私も問題文を読んだとき，外側の転がりを考えました。
しかし，読み進めるうちにこれは円周の内側の転がりを
指していると直感しました。
「１回転するための球の最下点での速度V」とありますから，
Vの値が「１回転するため」の条件になっています。つまり
最下点でどれだけの速さで通過すれば，円周の内側を
転がっていって最上点でも「落ちることなく」もどって
これるか・・・と読み取るべきではないでしょうか？
よく見かけるループコースターの問題だと理解できます。

回答No.5

yokkun831

#4さんの考察について

確かにそのようにも読めますね。問題の表現が不十分といえます。
でも「すなおな」読み取りは最高点を無事に転がって下まで
もどってくる・・・すなわち自転の１回転ではなく，公転の
１回転と読み取ることだと思われます。
さらにいえば問題の「垂直に」は「鉛直に」の間違いですね。

また，「半径Rの円周上を半径rの球が滑ることなく転がる」
とありますので，球の中心の軌跡は半径R-rの円周であると
読むべきだと私は思います。いずれにせよ，やや不十分で
誤解を生じる問題文であることは否めません。

回答No.4

htms42

確認です。

＞球が円周上を落ちることなく１回転するための球の最下点での速度Vを求めよ。

というのは小球が円周上から離れるところでちょうど１回転しているという意味、最下点での速度というのは離れる時の速さということですね。

その場合だと物体の半径Ｒの円周にそっての運動の角速度Ωと重心周りの回転の角速度Ωの間に　ＲΩ＝ｒω　の関係が成り立ちます。離れる時の角度をθとするとθ＝２π(ｒ/Ｒ)です。

エネルギー保存、垂直抗力の式を使うと
Ｖ^2＝ｇ(Ｒ＋ｒ)cosθ
と求められます

cosθ＝２/(３＋α)
α＝(５/２)/(１＋(ｒ/Ｒ))^2
θ＝２π(ｒ/Ｒ)

ｒ/Ｒの値が与えられているのであればｃｏｓθは求められます。しかし、１回転という条件に合うθをこの３つの式から求めるのは簡単には出来ません。

関数電卓を使って概算すると
θ≒６５°、ｒ／Ｒ≒０．１８です。

回答No.3

yokkun831

>回転体の持つエネルギーTは、
>T=Iω^2/2=1/2xmR^2x(v/R)^2=mv^2/2
今の場合球ですから，I=2/5・mr^2でしたよね。

>遠心力Fは、F=mv^2/R
重心の回転半径は，R-rになります。

以上がつまづいた部分で，あとはぜーんぶあってますよ！

お礼

>遠心力Fは、F=mv^2/R
重心の回転半径は，R-rになります。

すいません。
これはどこを訂正したら良いのでしょうか？
お願いします。

回答No.2

yokkun831

質量は自分でmとでもおいて、立式すればいいのです。
＃１さんがおっしゃるように、最終的に質量は無関係
になり、消えてなくなります。

このまま解答を書けば、丸投げにこたえることになって
しまいルール違反ですので、ひとまず方針のみ。
(1)最上点の速さvとおいて、最下点と最上点とで
エネルギー保存の式をたてます。球の回転の
エネルギーをお忘れなく。
(2)最上点での円運動の方程式（半径方向の運動方程式
または、ともに動く立場での遠心力を含めたつりあいと
いっても同じ）をたてます。円周から受ける抗力Nが
必要です。
(3)最上点でもN>0であれば落ちないで回転することが
できることになります。N=0となるvを(2)から求め、
(1)に代入すれば、Vの下限を求めることができます。

以上でやってみて、経過を書いて頂ければ詳細を
こたえることができるでしょう。

お礼

有難う御座います。
方針を見ながら解いてみました。

質量をｍ、最上点の速度をｖとおく。（最下点は大文字のV）
慣性モーメントIはI=mR^2、また、v=Rωよりω=v/Rから、
回転体の持つエネルギーTは、
T=Iω^2/2=1/2xmR^2x(v/R)^2=mv^2/2

位置エネルギーはmgx(2R-2r),
エネルギー保存則より,
2mg(R-r)+mv^2/2+mv^2/2 = mV^2/2+mV^2/2
V^2 = 2g(R-r)+v^2

遠心力Fは、F=mv^2/R
遠心力から重力を引いた力が垂直抗力Nとなるので、
N = mv^2/R-mg
N=0とすると、0 = mv^2/R-mg
mg = mv^2/R
v^2 = Rg
v = √Rg
これを式に代入すると、V^2 = 2g(R-r)+Rg
よって、V = √2g(R-r)+Rg

たぶん間違えていると思いますが、
見て頂けると嬉しいです。
お願い致します。

回答No.1

debukuro

重力加速度は質量に関係なく一定でしょう
質量が必要なら何でもいいから代入すればいいのです
普通は１ｋｇとしますが２ｋｇでも同じ結果になるはずです