わかりません！！

質問

Ｎを２以上の自然数とする。
Ｎ次元空間全体の点をＮ＋２種類の点に
任意に分割したとき、そのうちの少なくとも
Ｎ＋１種類の点を含むＮ－１次元空間が
存在することを証明せよ。

全く分からないので誰か教えてください。
こういう問題苦手です。

回答No.2

seven_triton · ベストアンサー

まずN=2のときを考えましょう。
「平面全体の点を４種類の点に任意に分割したとき、そのうちの少なくとも３種類の点を含む直線が存在することを証明せよ。 」って問題になりますね。

互いに種類の違う４点１，２，３，４をとり，１と２，３と４を結びます。この２直線が交わるなら，証明は終わりです。(なぜでしょう？）なので平行だとします。次に，１と３，２と４を結び，同じ理由で平行だとしていいです。すると，この４点は平行四辺形をなすことになり，対角線を結ぶことによって，題意の直線が存在することが示されます。

N=3のときにはもう少し面倒になります，また，図もだいぶ込み入ってきますので，分かりにくくなります。N=2のときをヒントにしながら，また，数式も少し入れて証明することになります。

一般のＮのときには，もはや幾何的直感は全く働きません。N=3のときをヒントにしながら，数式のみで証明していくことになります。その際，「Ｎ－１次元空間」とは何かをきちんと考えなければなりません。（「部分空間」ではないですよね。 つまり，原点を通らなくてもいいんですよね。）また，「Ｎ－１次元空間」と直線があったときに，それらが平行だとか，平行ではないとかいったことを，きちんと数式で表現することが必要です。ベクトルの知識をかなり使います。でも面倒なので書きません。。。ごめんなさい。

こんなんでいいですかねえ。

ちなみに，このN+2種類っていうのは，この問題が成立するための最小の数です。これより小さいと成立しません。つまり，N=2のときを考えると，平面全体をうまく３種類に分割すると，その３種類を全て含む直線が存在しないように出来る，ということです。これはそんなに自明じゃないですよ。そのような分割をひとつ考えてみてください。

お礼

お返事ありがとうございます！！こんなボクにも理解することができて大変驚いています。いやでもこういうのに慣れてないと難しいですよね。だんだん慣れていかないと・・・。なんだかそう思いました。ありがとうございました。

回答No.1

SUNAONAKO

外出の直前で急いでおりますので、解答を書くことが出来ません事をどうかお許し下さい。基底の問題と認識されることをお勧めします。

お礼

お急ぎのところお返事いただけてどうもありがとうございます！！基底がどんなものかわかりかねますが検索して調べてみます。どうもありがとうございました。