数学的帰納法について

質問

nが自然数のとき、
n！≦2（n/2）＾n
を証明したいんですが、何から始めればいいかも分かりません。
数学が苦手な私でも分かるように説明お願いします。

回答No.2

hika_chan_ · ベストアンサー

n=1のとき成り立つかを確かめる。
n=kの時に、その式が成り立つと仮定して、話を進めていく。

n=k+1のとき、
(k+1)!=(k+1)k!≦2(k+1)(k/2)^k　　　(k!は2(k/2)^kだから)

ここで、
2((k+1)/2)^(k+1)-2(k+1)(k/2)^k
を計算して、正になることを確かめる。(たぶん正になるはずなんですが、ならなかった場合はほかの方法を考えてみてください)

そうすると、
2((k+1)/2)^(k+1)-2(k+1)(k/2)^k≧0

よって、2((k+1)/2)^(k+1)の方が大きいから、
(k+1)!≦2(k+1)(k/2)^k≦2((k+1)/2)^(k+1)

ゆえに、
(k+1)!≦2((k+1)/2)^(k+1)

ってなるわけですよーー

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
回答どうりに解いたらできました！！

回答No.4

endlessriver

n^n=(n+1)^n・{n/(n+1)}^n
右辺の後の項は
{n/(n+1)}^n=1/(1+(1/n))^n
(1+(1/n))^nは2項展開の始めの２項を取ると
(1+(1/n))^n>=2

お礼

回答ありがとうございます。
参考にして解いてみます！！

回答No.3

hika_chan_

(k+1)!=(k+1)k!≦2(k+1)(k/2)^k　　　(k!は2(k/2)^kだから)

詳しくいうと、

k！≦2（k/2）^k (元の式)

両辺に(k+1)をかける　　　(k+1)は正だから(k≧2)不等号も変わらない

(k+1)k!≦(k+1)2(k/2)^k

っていうふうになってます

回答No.1

bad-boys

ヒント：掛け算（累乗や階乗）がらみの問題は、両辺に対数をとるとよいですよ

補足

対数をとるとはどういうことですか？