エルデスシュトラウスの予想の証明とは？

2011/02/20 01:09

このQ&Aのポイント

エルデス・シュトラウスの予想は、Nを2以上の自然数とすると、4/N=1/X+1/Y+1/Zを満たす自然数X・Y・Zが必ず存在するというものです。
予想の証明には、2/N公式を使います。具体的には、Nが偶数の場合と奇数の場合について考えます。
また、N=3n+2でNが奇数の場合にも、2/N公式を使って予想が成立することを示すことができます。

エルデスシュトラウスの予想が、証明出来ました。

Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在するとエルデス・シュトラウスは予想しました。 4／Ｎの塊を、1／Ｘと1／Ｙと1／Ｚとの3つに分ける事自体は簡単です。Ｘ・Ｙ・Ｚが無理数でも良いのなら、適当に3分割すればよろしい。Ｎが如何なる2以上の自然数となっても、Ｘ・Ｙ・Ｚには、小数点以下の端数が付いてはならない点が、この予想の証明の難しいところです。 (1)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ）と(2)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）と(3)（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）との3つの塊を考えます。(1)は1／Ｎです。(2)は（1／Ｎ+1）です。(3)は（1／Ｎ（Ｎ+1））です。(1)(2)(3)とも全て、分子は1で、分母は自然数です。また、(2)+(3)＝（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）+（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）＝（1／Ｎ）×（Ｎ+1）／（Ｎ+1）＝1／Ｎとなります。故に(1)+(2)+(3)＝2／Ｎとなります。従って、2／Ｎ＝1／Ｎ+（1／Ｎ+1）+（1／Ｎ（Ｎ+1））（2／Ｎ公式と呼ぶ）は常に成立します。Ｎにさまざまな自然数を入れて見てください。この数式を基礎として、4／Ｎ＝1／Ｎ+（1／Ｎ+1）+（1／Ｎ（Ｎ+1））が成立することを証明出来るでしょうか。Ｎが偶数の時、2／Ｎ公式にＮの半分の値を当てはめると、求める式は出来上がります。例えばＮ＝22の場合、11を使います。2／11＝（1／11）+（1／12）+（1／（11×12））＝（1／11）+（1／12）+（1／122）＝24／122＝4／22となります。Ｎが奇数の時、Ｎは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通りがあります。Ｎ＝3ｎの時、(1)の式にはｎを使います。分母を1／3にする為、(1)の値は3倍になります。(2)+(3)の式にはＮを使いますので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝9の場合、（1／3）+（1／10）+（1／90）＝40／90＝4／9となります。Ｎ＝3ｎ+2の時、(2)+(3)の式のＮ+1の値が3ｎ+2+1＝3（ｎ+1）と3の倍数になるので、(2)+(3)の式にＮ+1の替りに、ｎ+1を使います（分子のＮはそのままです）。分母を1／3にする為、(2)+(3)の値は3倍になります。(1)の式にはＮを使うので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝11のとき（1／11）+（1／4）+（1／44）＝16／44＝4／11となります。次ぎに、Ｎ＝3ｎ+2でＮが奇数の時です。2／Ｎ公式では、(2)+(3)は1／Ｎです。分母にどの様な自然数を掛けても、分子は1なので、要件を満たします。つまり、(2)+(3)は、1／2Ｎ・1／3Ｎ・1／4Ｎ・1／5Ｎ・1／6Ｎ・1／7Ｎ・・・と自由に選択出来ます。Ｎに1を足して4の倍数になる場合、（Ｎ+1＝4ｎの時）(1)式中のＮの替りに倍数ｎを使います。(2)+(3)式の分母には、自由に自然数を掛けられるので、倍数ｎを掛けます。(2)+(3)＝1／Ｎｎ＝（1／2Ｎｎ）+（1／2Ｎｎ）とします。例えばＮ＝19の時、19+1＝20＝5×4なので倍数5を使います。（1／5）+（1／190）+（1／190）＝40／190＝4／19となります。残ったのは、Ｎ＝3ｎ+2且つ、Ｎ＝4ｎ－3且つ、Ｎが奇数の時です。即ちＮ＝12ｎ+1の数列で、具体的には、13・25・37・49・61・85・97・109・・・です。これらの数値（Ｒとする）は、2乗で表せます。13＝2×2+3×3、25＝3×3+4×4、37＝6×6+1×1、49＝7×7、61＝5×5+6×6、85＝9×9+2×2、97＝9×9+4×4、109＝10×10+3×3・・・等です。4／（Ｒの2乗）＝（2／Ｒ）の2乗なので、この場合も2／Ｎ公式により、予想は成立します。従って、Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在すると言えます。