※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：立方体の分割）
立方体の分割とは？
職場の人にこんなの出来る？と問われた問題なのですが、相当に手ごわく、よいアイデアがあればぜひご教示ください。こんな問題です。
立方体をいくつかの小立方体に分割する。ただし同じサイズの立方体がいくつあってもよい。このとき分割された小立方体の個数を分割数と呼ぶことにすれば、有限個の自然数を除いて、その他の自然数はすべて分割数になる。
というものです。つまりある自然数Mがあって、M以上の任意の自然数nに対して、立方体をn個の小立方体に分割できるのだ、というわけです。そしてこのことの証明は非常に容易です。実際、自分で、49、1、51、38、39、61、20がすべて分割数であることを証明しました。そして、あるひとつの(小)立方体の各辺を二等分して8個に分割すれば、分割数は7増えるのだから、mod.7で分類すれば、55以上の任意の自然数は分割数であることが結論されます。
悩んでいるのは次の二点です。
●知り合いの方は非分割数の最大値は四十幾つといっていた（真偽は不明）ので、54も分割数ではないか？
●最大の非分割数はおそらく四十幾つだと思われるが、それを正確に証明できるか？
有名問題かも知れません。参考になりそうなことでもあれば、ぜひお知らせください。よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございます。いろいろとわかりました。一度締め切ってまた再質問させてもらいます。