あるアニメで出された問題ですが…pが素数である必要

質問

pは素数、nは任意の自然数とします。
(1+n)^p -1-n^p がpで割りきれることを証明してください。

という問題です(式が分かりにくいので添付しました)。

pが自然数の場合に成り立つと思いますが
なぜ、素数にしたのでしょうか?

回答No.1

buenaarbol · ベストアンサー

まどか☆マギカ10話ですね。
私も放映時、「解けるかな・・・」と思っていたのですが、取り組んだところ案外素直に解けました。

自然数では成り立ちません。例えば、p=4のとき、

与式　= 4n + 6n^2 + 4n^3

となり、これはp=4で割り切れない n (例えば1)がありますよね？

私の証明は二項展開を用いて行ったので、pが素数であるということは自然と用いたのですが、質問者さんはどのような証明をされたのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。
アニメ中では他にも色々と問題が出ていたので
「二項定理で解ける」程度で済ませていました。
4C2も4で割れるような勘違いをしていました。

回答No.3

alice_44

そのアニメは、いい歳をして泣きました。

二項定理を用いて証明する際、
n の k 次項の係数として、pCk
すなわち p!/(k!(p-k)!) が現れます。
これの分子が p の倍数であることは明らか
ですが、約分で消えてしまってはしかたがない。
p が素数なら、分母の素因数は p より小さい
ので、p は約分されません。

p が素数でなければ、
No.1 さんのような反例がありますね。

お礼

回答ありがとうございました。
久しぶりに良いアニメを観たと思います。
おかげで何度も観ているうちに
気になって質問に至りました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
アニメは知らないのですが。＾＾；

式を少し詳しく見てみると、
(1+ n)^p- 1- n^p
＝ (1+ n)^p- (1+ n^p)
＝ 1+ p*n+ p(p-1)*n^2+・・・+ n^p- (1+ n^p)
＝ p*n+ p(p-1)*n^2+・・・+ p*n^(p-1)
＝ Σ[k=1, p-1] { pＣk* n^k }

と変形できます（from 二項定理）。

あとは、素数：pに対してそれぞれの pＣkが
pで割り切れることを示すことができれば問題は証明されます。

＞pが自然数の場合に成り立つと思いますが
＞なぜ、素数にしたのでしょうか?
それぞれの pＣkが pで割り切れるということを示そうとすると、
ただ pが自然数というだけでは示すことができません。
#1さんの p＝ 4の場合でも、4Ｃ2＝ 6となって割りきれません。

で、示す方法ですが、pＣkと (p-1)Ｃ(k-1)の関係を考えます。
pＣk＝ p/k* (p-1)Ｃ(k-1)
k* pＣk＝ p* (p-1)Ｃ(k-1)

右辺は明らかに pの倍数となっています。
左辺については 1≦ k≦ p- 1＜ pであり、かつ pが素数であることから
kは pの倍数ではないことがわかります。
（この部分の議論が、「pが素数」でなければならないところの核心部分です）

よって、pＣkは pの倍数となります。