離散数学(関係の問題)

質問

関係の問題で困っているので教えてください。
答えがないので全く分からなくなってます。

Aを空でない有限集合としてa=|A|とする。以下をaを使って表せ。
1,|A*A|
2,|{R|RはA上の関係}|
3,|{R|RはA上の反射的な関係}|
4,|{R|RはA上の対称的な関係}|
5,|{R|RはA上の反射的かつ対称的な関係}|
以上です。

自分で考えた結果
1についてはAの基数がaであることからa*a
2については1のべき集合なので2^(a*a)でたぶん合っていると思います。
しかし3以降が全く分からず、困っています。
3についてはa={a1,a2,a3,a4,…}とした時にRに(a1,a1)(a2,a2)(a3,a3)…が含まれればOKだと思うのですがどうやって表せばよいか見当がつきません。
よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

A={1,2,3,4}くらいで実際に数えましょう。見当くらいはつくはず。

お礼

考えてみました。
3,Rの要素は｛(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)とα｝になるのでαだけ別に考える。
今の場合α＝(1,2)(1,3)(1,4)、(2,1)(2,3)…となるので|α|＝2^(3*4)
なので、RをR1＝｛(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)｝とR2＝｛α｝で分割して考えて後から組み合わせるとすると、|R|＝|R2|＝2^(3*4)という考え方になったのですがどうでしょうか？
そうすると、一般的には|R|＝2^{a*(a-1)}で良いのでしょうか？

回答No.2

koko_u_u

>一般的には|R|＝2^{a*(a-1)}で良いのでしょうか？

具体的に数えた結果を一般化するだけです。以下同様にどうぞ。