離散数学の問題が解けずに困っています。

質問

離散数学の問題が解けずに困っています。
どなたか教えていただけないでしょうか？

【問題文】
A=B=C={r,y,g}とする。

ここで、
A,B,Cはそれぞれが信号機SA,SB,SCが表示できる色の集合、
r,y,gはそれぞれが赤、黄、青に対応する元を表す。
RABがAからBへの二項関係、RACがAからCへの二項関係であるとき、次式が成り立つ。

・ RAB(r)={r,y,g}、 RAB(y)={r}、 RAB(g)={r}
・ RAC(r)={r}、 RAC(y)={y}、 RAC(g)={g}

ここで、a∈A、b∈B、c∈Cのとき、RAB(a)={b|aRABb}、RAC(a)={c|aRACc}である。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1)、RABとRACの元をそれぞれ示せ。
(2)、RABの逆関数RAB^-1を示せ。
(3)、BからCへの二項関係RBCをRAB^-1を用いて表し、RBCの元を示せ。

回答No.4

noname#152421 · ベストアンサー

#1です。

(2)の意味がわからなくてああいう聞き方になったのですが、おかげで問題文が何が言いたいのかやっとわかりました。
Tnks>#2

二項関係を表にするとわかりやすいと思います。

RAB.│..r..y..g
──────────────────
.....r..│..1..1..1
.....y..│..1..0..0
.....g..│..1..0..0

※aRABbとなるときaの行とbの列の交差した部分が1、それ以外が0という意味です。
※「.」は空白と思ってください。表がずれて見にくかったらごめんなさい。

RAB={(r,r),(r,y),(r,g),(y,r),(g,r)}

RAC.│..r..y..g
──────────────────
.....r..│..1..0..0
.....y..│..0..1..0
.....g..│..0..0..1

RAC={(r,r),(y,y),(g,g)}

RAB^(-1)は、成分を入れ替えたものになりますが集合として同じで、

RBA={(r,r),(r,y),(r,g),(y,r),(g,r)}

RABの表で行と列を逆にして、RBAの表が得られます：

RBA.│..r..y..g
──────────────────
.....r..│..1..1..1
.....y..│..1..0..0
.....g..│..1..0..0

RBCは、RBAを施してからRACを施すので、(RAC)○(RAB^(-1))

RACは恒等写像なので、RBCはRABと同じ。表にすると

RBC.│..r..y..g
──────────────────
.....r..│..1..1..1
.....y..│..1..0..0
.....g..│..1..0..0

RBC={(r,r),(r,y),(r,g),(y,r),(g,r)}

問題文に戻って、変なのは

> ・ RAB(r)={r,y,g}、 RAB(y)={r}、 RAB(g)={r}
> ・ RAC(r)={r}、 RAC(y)={y}、 RAC(g)={g}

という書き方にあると思います。これだと#1に書いたようにAから2^B（Bの部分集合全体）への写像のようにみえてしまって、ただしく処理できない。

もしかして、授業中にこういう書き方をしますよ、という注意があったのでは？
あるいは単に出題者が無頓着なのか。

ついでに、添付の画像にある信号機との関係でいうと、交差点で自分が見る信号の色と対向車線を反対側からくる車が見る信号が同じ（RACが恒等写像）。一方、交差点で自分から見て左右に異動する車の信号機の色が青や黄のときは自分がみている信号機の色は赤、そうではなくて赤のときは自分のが青か黄。交差点で互いにぶつかる車線について、どちらの立場からみても同じというのが(2)の主張。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございました。

解答も書いていただき、おかげで、自分がどういう勘違いをしていたかに気づくことができました。m(_ _)m

>もしかして、授業中にこういう書き方をしますよ、という注意があったのでは？
>あるいは単に出題者が無頓着なのか。

実はこれは大学院受験の過去問で、回答がついておらずここで質問をさせて頂いたのです。
自分もこの出題方法に対しての答え方が分からず混乱していたのですが、
確かに問題の不備もありましたが、
私がしっかりと関係について理解していれば、この問題文がおかしいことに気づけたのかもしれません。

他の回答者さんたちからの書き込みで、改めて自分が勉強不足だということに気づきました。本当にありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

一つ目は単純に用語の問題.
「SAがある状態の時にSBがとりうる値」を関係RABとして表している
のであれば,
「SBがある状態の時にSAがとりうる値」を表す RAB^-1 も「関係」と呼ぶのがより正しくないか, ってこと.
二つ目はより根源的で, 「A と B, A と C の間にそれぞれ特定の関係がある」と仮定しても, B と C の間の関係がそれらだけで決まらなければならない理由など存在しない.
ただ, (用語の問題を見なかったことにすれば) (2) はできないといかんなぁ.... 定義はきちんと確認してる?

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

いや, それは問題をきちんと読み取れていません＞#1.
「ここで」の文からわかるように, RAB, RAC はそれぞれ A から B, A から C への二項関係で間違いないです.
といっても問題がおかしいこともまた事実で,
・(2) で「RAB の逆関数 RAB^-1 を示せ」と書いてあるが「関数」をどのような意味で使っているのか不明. 「始域に属する任意の元に対し終域に属する元が (たかだか) 1個存在する」でいいのか?
・(3) B から C への二項関係 RBC が満たすべき条件を規定しなければこの問いは無意味.

お礼

Tacosanありがとうございます。

一つ目
>(2) で「RAB の逆関数 RAB^-1 を示せ」と書いてあるが
>「関数」をどのような意味で使っているのか不明.
>「始域に属する任意の元に対し終域に属する元が (たかだか) 1個存在する」でいいのか?

申し訳ないことに私には、おっしゃる内容があまり理解できていません(>_<;)すみません。
私は図から判断してしまっているのですが、
「SAがある状態の時にSBがとりうる値」をRABとして表しているので、
RAB^-1は「SBがある状態の時にSAがとりうる値」となるのかなと思いました。
しかし、答え方が分からない状態です。

また、２つ目の
>(3) B から C への二項関係 RBC が満たすべき条件を
>規定しなければこの問いは無意味.

についても、上記したとおり、
「SBがある状態の時にSCのとりうる値」を求めているのではないかと思いました。
また、RACについて、RAC(r)={r},RAC(y)={y},RAC(g)={g}
つまりAとCは同じ値を取り続けるので、RBC=RBAと同じなのではと思いました。

また、RBA=RAB^-1となったので、
(2)で示したRAB^-1を利用して(3)は答えるのだと思ってます。
しかし答え方が分かりません。

私のこの答えの導き方はは間違っているのでしょうか。
Tacosanさんの更なる御回答をお願いしたいです。

回答No.1

noname#152421

意味がわらから無いところがあるので確認です。

> ・ RAB(r)={r,y,g}、 RAB(y)={r}、 RAB(g)={r}
> ・ RAC(r)={r}、 RAC(y)={y}、 RAC(g)={g}

の形から考えると、

> RABがAからBへの二項関係、RACがAからCへの二項関係であるとき

は、

「RABがAから2^Bへの二項関係、RACがAから2^Cへの二項関係であるとき」

の間違いでは？（ただし、2^B、2^CはそれぞれB、Cのベキ集合）

記号
aRABb
と
RAB(a)=b
とは同値ですか？（ただし、a∈A、b∈2^B）

お礼

Romachyさん書き込みありがとうございます！
分かりにくくてすみません(>_<)

１つ目
>「RABがAから2^Bへの二項関係、RACがAから2^Cへの二項関係であるとき」
>
>の間違いでは？（ただし、2^B、2^CはそれぞれB、Cのベキ集合）

一応、問題の原文では、最初に私が書き込みした形で出題されていました。
しかし、申し訳ないことに自分には"AからB"と"Aから2^B"の違いが分かりません。

私の解釈では、 RAB(r)={r,y,g}というのは、
SAの信号機がr(赤色)の時にSBの信号機はr(赤色),y(黄色),g(青色)の値をとりうる。
ということなので、"AからBへの２項関係"という意味でもスッキリしていました。
(そもそも私の２項関係の理解が浅いのかも知れません…。)

２つ目
>記号
>aRABb
>と
>RAB(a)=b
>とは同値ですか？（ただし、a∈A、b∈2^B）

おそらく同値だと思います！
信号機SAが(a)の時にSBが(b)の値を取るということで理解していたので。

もしよろしければ、
>RABがAから2^Bへの二項関係
の場合では、どのような解答になるか教えていただけると嬉しいです。