離散数学

質問

Z*を非負整数全体の集合とする。
Z*上の関係R={(x,y)|x+y=0}に対し、反射性、反反射性、対称性、反対称性、推移性のそれぞれが成り立つかどうか述べよ
という問題で、
答えは「対称性、反対称性、推移性が成り立つ」なのですが、
理由がわかりません。
どなたか、どうか教えてくださいm(__)m

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

この分野は一応「離散数学」ですから....＞#1.
対称性と反対称性はどちらも x≠y のときだけ気にすればよく, そのような任意の x, y に対し
・(x, y) ∈ R なら (y, x) ∈ R: 対称
・(x, y) ∈ R なら「(y, x) ∈ R でない」: 反対称
です. だから, x≠y のときには成り立たない関係であれば対称かつ反対称です. 特に空関係や「x = y という関係」は対称かつ反対称.
ちなみに「反反射性」の定義はほかにあるかもしれないので注意. 少なくとも手元の本では, すべての x に対し「(x, x) ∈ R でない」という定義を採用していたりします. この定義を使うと, その R は反反射性を満たしません.

お礼

反反射性、満たしませんね。
ありがとうございましたm(__)m

回答No.2

kabaokaba

同じことを繰り返すけども定義に従うだけ
あ，Z*上だったこと見逃してた！
だから答えは・・・反射性が落ちてるから完全ではないけども
間違ってはいないかな

xとyに関係Rが成り立つ（(x,y)がRの要素である）ことを
xRyと書くことにする

・1R1ではないので「反反射」
・xRyならばyRxなので（x+y=y+xだから）「対称」
・「xRyかつyRx」であるとする
x+y=0かつx,y>=0なのでx=y=0，つまりx=yで，よって「反対称」
・xRyかつyRzとする
このとき，x=y=z=0なので，xRzとなり「推移性」あり

こんなとこだろか

お礼

そう説明されると定義通りですね。
考えすぎました。
ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

何がどう「離散数学」なんだかわからんが・・・
これも丸投げで削除対象かのお

定義に従って地道に処理すればいいだけ．
けど，私には
＞答えは「対称性、反対称性、推移性が成り立つ」なのですが、
が正しいとは思えない．
対称・反対称，反射・反反射，推移・反推移の定義をどうぞ．

補足

「(x,y)∈R→(y,x)∈Rなら対称性」
「(x,y)∈Rかつ(y,x)∈Rならx=yであれば反対称性」
「全てのxに対して(x,x)なら反射性、違えば反反射性」
「(x,y)∈R,(y,z)∈Rなら(x,z)∈Rであれば推移性」

対称性と反対称性が同時に成り立つとは思えないです、
答えのミスかと疑っています。

この関係Rを満たす(x,y)=(0,0)であるのは分かります。
定義より、反対称性を満たすのも理解できます。
しかし他の性質で満たすものがあるかどうか分かりませんm(__)m