位相空間の収束の問題

質問

fを位相空間Xから実数Rへの連続写像、A⊂Xとする。任意のx∈Aに対して、f(x)=0のとき、任意のx∈A'(A':Aの閉包)に対して、f(x)=0であることを示したいのですが…よくわかりません。

A'がAの閉包ということは、A'はAを含む最小のXの閉集合なので、今の条件のとき、A'についてもf(x)＝0が言えるのかな…ということはわかるのですが、きちんと文章にして示すことができません。

回答よろしくお願いします。。。

回答No.2

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

今の条件は（与えられた条件は，A⊂X は兎も角）

(1) f は X から R への連続写像
(2) 任意の x∈A に対して，f(x)＝0

の2つです。(2)から攻めましょう。(2)は

(*) A⊂f^{-1}(0)

と同等です。(1)の出番です。1点集合 {0} は R の閉集合であることから(*)の右辺：

(**) f^{-1}(0) は X の閉集合

であることが言えます。(*)と(**)を合体させると

(***) f^{-1}(0) は A を含む閉集合

です。後は指摘の通り A' は A の閉包であることを用いれば結論を得ます。

お礼

またまた回答ありがとうございました!!

とてもわかりやすい解説でスッキリ解決しました!!

ありがとうございました!!

回答No.5

alice_38

あとは、f が連続であれば
f~-1 が閉集合を閉集合へ移す
ことの証明を添えれば完璧。

♯3 の証明が、閉包とは、極限について
閉じるようにした物のことだ
ということを、そのままたどっている点も
観賞していただければ幸い。

お礼

何度も回答して下さり、ありがとうございました。

非常に勉強になりました！！

改めて証明を見直し、♯３のものも参考にしました！！

ありがとうございました！！

回答No.4

alice_38

まず、言いがかり陳謝:
♯2 にギャップは無かった。
小生の勘違い。

あと、誤記訂正:
(A の閉包)∩(Q の補集合) は、A を含み、
A の「閉包」に真に含まれる

お礼

回答ありがとうございます。

証明は、♯２さんの考えをもとに

(証明)
条件：
(1) f は X から R への連続写像
(2) 任意の x∈A に対して，f(x)＝0

(2)より、
(*) A⊂f^{-1}(0)

1点集合 {0} は R の閉集合であるから、(1)より、
(**) f^{-1}(0) は X の閉集合

(*)、(**)より、
(***) f^{-1}(0) は A を含む X の閉集合

A’はAの閉包、すなわち、Aを含む最小のXの閉集合であるから、
このとき、
任意のx∈A に対してもf(x)＝0が言える。

・・こんな感じにしました!!

回答No.3

alice_38

＃　No.2 最後の２行にギャップがある気がする。

A の境界（ (A の閉包)∩(A の補集合) ）上の任意の点を p とする。
p の任意の開近傍（ p を含む X の開集合 ）は、A との共通元を持つ。
なぜなら、p の開近傍で、A とは素なもの Q が存在したと仮定すると、
(A の閉包)∩(Q の補集合) が、A を含み、A の補集合に真に含まれる
X の閉集合となり、A の閉包が A を含む最小の閉集合であることに
反するから。

f は X 上の連続関数であるから、lim[x→p] f(x) は f(p) に収束する。
すなわち、f(p) の任意の近傍 E に対して、x の近傍 D で f(D) ⊂ E
となるものが存在する。

上記の二つを考え合わせると、
R 上 f(p) の任意の近傍には、f(x), x ∈ A の値 0 が含まれる
ことになる。 よって、f(p) = 0。

＃　一番最後の部分は、R の位相が T0 分離であることに依存する。

回答No.1

鳴瀬 美幸（@naruse）

＞A' が Aの閉包ということは，A' は A を含む最小の X の閉集合なので，今の条件のとき，A' についても f(x)＝0 が言える。
＞きちんと文章にして示すことができません。

てにをはは別として十分に文章になっていると思います。強いて言えば，今の条件から
f^{-1}(0) は A を含む X の閉集合である，ことを追記すればよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます!!

＞f^{-1}(0) は A を含む X の閉集合である，ことを追記すればよいでしょう。

f^{-1}(0)は A を含む X の閉集合である
…これはどういう意味なのでしょうか??
f^{-1}についても考えたほうがいいという意味ですか??