楕円積分の解き方（マクローリン展開？）

質問

解き方をすっかり忘れてしまいました…
下の楕円積分を解いて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

kを変数のままマクローリン展開しても長ったらしいkの無限級数
展開式を求めても意味はありません。
E(k)=1.570796326794897-0.39269908169743*k^2-0.073631401025032*k^4
-0.030399798903041*k^6-0.038626564642975*k^8+0.41887581315451*k^10
-3.255408021537378*k^12- ...
K(k)=1.570796326794897+0.39269908169743*k^2+0.2208942030751*k^4
+0.1519989945152*k^6+0.27038595250082*k^8-3.76988231839055*k^10
+35.80948823691115*k^12- ...

最初の式は第2種完全楕円積分 E(k) の定義式そのものです。
なのでk(0≦k≦<1)を与えて数値積分しかないです。
下の積分サイトでkを与えて計算ボタンをおせば積分値をだしてくれます。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000%2e%93%c1%8e%ea%8a%d6%90%94%2f07000700%2e%91%c8%89%7e%90%cf%95%aa%2f10010200%2e%91%e62%8e%ed%8a%ae%91S%91%c8%89%7e%90%cf%95%aa%20E%28k%29%2fdefault%2exml
例えば　k=0.5　→　E(k)=1.46746220933942715546

2番目の積分は第1種完全楕円積分 K(k) の定義式そのものです。
なのでk(0≦k≦<1)を与えて数値積分しかないです。
下の積分サイトでkを与えて計算ボタンをおせば積分値をだしてくれます。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000%2e%93%c1%8e%ea%8a%d6%90%94%2f07000700%2e%91%c8%89%7e%90%cf%95%aa%2f10010100%2e%91%e61%8e%ed%8a%ae%91S%91%c8%89%7e%90%cf%95%aa%20K%28k%29%2fdefault%2exml
例えば　k=0.5　→　K(k)=1.685750354812596042871

お礼

ご回答ありがとうございました。
ご紹介いただいたURLも参考になりました。

回答No.3

Ae610

「解け」・・・の意味がよく分からないので、取り敢えず
以下のように級数展開は出来る。

∫[0,π/2]｛1/√(1-(ksinθ)^2)｝dθ=π/2・F(1/2,1/2,1;k^2)

∫[0,π/2]｛√(1-(ksinθ)^2)｝dθ=π/2・F(-1/2,1/2,1;k^2)

(F(a,b,c;x)=(Γ(c)/(Γ(a)Γ(b)))・｛Σ(n=0～∞)(Γ(a+n)Γ(b+n)x^n)/(n!・Γ(c+n))｝なる超幾何関数)

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

spring135

楕円関数の本をみても級数展開のような式はなかなか出てきません。
私ならば数値積分をやります。シンプソンの台形公式を使って、0～π/2を10分割ぐらいすると、8ケタぐらいは簡単に出ます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
本が無いため、なかなか難しい所ではありますが、何とか調達してみます。