マクローリン展開

質問

マクローリン展開を利用して、次の定積分の近似値を小数点以下第３位まで求めたいです。
∫(0～0.1)(1／(1+x)^1/5)dx

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x)=1/(1+x)^(1/5)
マクローリン展開して
f(x)=1-x/5+(3x^2)/25-(11x^3)/125+(44x^4)/625-(924x^5)/15625+R(x^6)
１項だけの近似積分：I0=∫[0,0.1] 1dx=0.1
１次の項までの近似積分：I1=∫[0,0.1] (1-x/5)dx=0.099
２次の項までの禁じ積分：I2=∫[0,0.1] (1-x/5+(3*x^2)/25)dx=0.09904

>小数点以下第３位まで
答えは　「0.099」
一致するのはf(x)のマクローリン展開のxの１次の項までの積分でよい。
I1とI2を比較して小数点以下第3位まで一致していることで確認できる。

回答No.3

alice_44

言いっぱなしだったので、実際にやってみる。
f(x) = ∫ (1+x)の-1/5乗 dx (不定積分)
と置くと、
f'(x) = (1+x)の-1/5乗,
f''(x) = (-1/5)((1+x)の-6/5乗),
f'''(x) = (-1/5)(-6/5)((1+x)の-11/5乗).
である。
3 次のテイラーの定理より、
f(x) = f(0) + f'(0)・x/1! + f''(0)・(xの2乗)/2! + f'''(c)・(xの3乗)/3!
となる c が、0 ＜ ｜c｜ ＜ ｜x｜ の範囲にある。
x = 0.1 を代入すると、
問題の式 = f(0.1) - f(0)
= 1(0.1) + (-1/5)(0.01/2) + R,
R = (6/25)(0.001/6)/((1+c)の11/5乗),
0 ＜ c ＜ 0.1
となる。
0 ＜ R ＜ (0.001/25)/(1.1の11/5乗) ＜ 0.001/25
だから、テイラー展開を二次で打ち切って
与式 ≒ 0.099 とすれば、小数第 4 位までは正確。

回答No.2

alice_44

チリも積もれば山となる…というのが、
積分の考え方の基本です。
A No.1 の方法では、小数第3位まで正確か
確かめたことにはなりません。
4 次項、5 次項と、どんどん足していっても、
先のほうで小数第3位が変わらないことを
保証しなくてはなりませんから。
高次微分係数の絶対値の上限を求めて、
テイラーの定理から誤差を評価するのが
よいと思います。